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Transkript Dritte Kombinationsregel – n Objekte in k Gruppen

Hallo. Wir machen die dritte Kombinationsregel beziehungsweise wir haben n Objekte in k Gruppen zu ordnen. Was bedeutet das? Es ist diese Skat-Blatt-Aufgabe. Ja, das ist so etwas wie ein Skatblatt. Es kann auch sein, dass die eine oder andere Karte hier zweimal vorkommt, ich habe das eben schnell zusammengestellt.Wenn man ein Skatblatt austeilt, bekommt ein Spieler 10 Karten. Das teilt man nicht so aus, wie ich das jetzt mache, aber grundsätzlich ist das so. 10 Karten kriegt der erste, 10 Karten kriegt der zweite und 10 Karten kriegt der dritte Spieler und zwei bleiben im Stock.Und jetzt ist die Frage: Wie viele Möglichkeiten gibt es, diese Skatblätter hier so auszuteilen? Wie viele mögliche Skatspielanfänge könnte man haben?Das heißt, wir könnten zunächst mal ausrechnen ... wir wollen 32 Karten verteilen ... wie viele Möglichkeiten gibt es, 32 Karten anzuordnen. Das ist 32 Fakultät. Jetzt ist es aber so, dass ja einer 10 Karten bekommt und dem ist es jetzt egal, ob er die in der oder der Reihenfolge bekommt. Man kann sie ja auf der Hand ordnen. Das heißt, wenn wir jetzt 32 Fakultät rechnen, dann haben wir diese Kombinationsmöglichkeiten, die es innerhalb eines Skatblattes hier gibt, die haben wir ja zu viel gezählt, also müssen wir durch diese Anzahl noch mal teilen. Ebenso bei diesen 10 Karten hier, da ist es uninteressant, in welcher Reihenfolge man die bekommen hat. Bei denen natürlich auch und bei den beiden Karten im Stock, so sagt man das ja, ist es auch egal, in welcher Reihenfolge die dort liegen.Das bedeutet, wir haben 32 Karten. Also 32! und teilen durch 10! und durch 10! wegen der einzelnen Skatblätter auf der Hand geteilt durch 10! geteilt durch 2!Ich sage hier immer geteilt, weil ja die 32! Letzten Endes immer durch 10! und durch 10! und dann noch mal durch 10! geteilt wird. Wenn man das alles in den Nenner schreibt, steht da natürlich jeweils ein Mal-Zeichen.Allgemein - ich schreibe mal das Entsprechungszeichen da hin - sieht die Formel dann so aus:Wir haben also n Dinge, die wir anordnen möchten, und zwar in k Gruppen.Die erste Gruppe hat n1 Elemente, zum Beispiel hier die 10.Die zweite Gruppe hat n2 Elemente, also hier jetzt im Nenner mal n2! Hier das wäre dann die zweite 10.Und das geht dann weiter bis zur letzten Gruppe und das ist die Gruppe nk.Das ist die kte Gruppe und die Anzahl der Elemente in dieser Gruppe ist nk.Also müssen wir dann noch mal nk Fakultät rechnen bzw. n Fakultät noch durch k Fakultät teilen. Ja, ist vielleicht ein bisschen sperrig, die Formel, aber so ist halt die Lage.   Ich kann das noch mal an zwei Beispielen eben vormachen.Das ist nicht nur bei Karten so, sondern das ist auch beim Ziehen von Zahlen der Fall.Ich könnte also jetzt alle Zahlen der Reihe nach ziehen und dann hier hinlegen und dann sagen: Ich interessiere mich aber nur dafür, welche Zahlen unter den ersten 5 sind, welche in der zweiten 5er-Gruppe sind und welche im Rest enthalten sind. Einfach nur theoretisch zeige ich das jetzt. Es gibt sehr viele Anwendungsmöglichkeiten in Produktionsprozessen etc.Also dann habe ich hier eine 5er-Gruppe, das ist die nächste 5er-Gruppe und das ist der Rest. Ja oder wenn man sonst 5er-Gruppen bildet, kann ja auch sein, vier 5er Gruppen kann man bilden, wenn man 20 Leute ist und ist die Frage, wie viele Gruppen erhält man dann ... Das sind alles solche Anwendungen davon und dann wenn ich zum Beispiel eine 5er, eine 5er und eine 10er habe, dann rechne ich 20 ! geteilt durch 5 !dieses Ergebnis geteilt durch 5!dieses Ergebnis geteilt durch 5!oder einfach 20! Bruchstrich 5! x 5! x 10! das ist dann so wie man es ausrechnen kann.   Es gibt noch eine Anwendung, die ich zeigen möchte. Ja, jetzt kommt das mit den Bällen wieder. Und zwar möchten wir 6 Bälle auf 6 Boxen verteilen und die Boxen haben begrenztes Fassungsvermögen. Es ist immer nur ein Ball zulässig und das ist die Situation, der wir uns gegenübersehen. Wir haben drei blaue Bälle, zwei gelbe Bälle und einen roten Ball und die möchte ich jetzt wirklich mal ohne zu gucken zuordnen, damit nicht wieder etwas rauskommt, von dem ich dann glaube, dass es komisch aussieht.Es könnte jetzt sein, dass ich mich einfach nur dafür interessiere, wo sind blaue, wo sind gelbe und wo ist der rote Ball.Und die Ergebnisse eines solchen Zufallsversuchs sind dann wieder 6 Tupel.Und dann hätten wir hier blau, gelb, blau, gelb, blau, rot.Die Anzahl dieser Möglichkeiten berechnet man mit 6! geteilt durch 3!×2!×1!Und das ist die Anzahl der Möglichkeiten: 3bs, 2gs und 1r auf 6 Positionen zu verteilen.Man kann sich das auch so vorstellen, dass man erst mal 6 Elemente anordnet und sich dann noch mal sagt, na ja, die drei blauen Bälle, die können ja untereinander kombiniert werden, ohne dass es hinterher auffällt, deshalb muss ich noch geteilt durch 3! rechnen und die beiden gelben Bälle können ja auch jeweils untereinander kombiniert werden, ohne dass das als Extramöglichkeit zählt, und dann muss man eben noch durch 2! teilen also durch 2.Ja, das war es zu dieser Möglichkeit hier. Viel Spaß damit. Tschüss.    

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