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Transkript Dreiecksscharen im Koordinatensystem (5)

Hallo, es geht weiter mit dem 2.Teil unserer Aufgabe hier zu funktionalen Abhängigkeiten im Koordinatensystem. Wir haben schon A und B hier eingezeichnet hier in das Koordinatensystem, ebenso die Gerade G mit dieser Geradengleichung hier, mit dieser Funktionsgleichung. Und wir haben uns ein C1 ausgesucht, nämlich hier, das mit den Koordinaten -2 und 3 und haben das entsprechende Dreieck gezeichnet. Und wir haben hC1 bestimmt, indem wir einfach hier 1,5 + 2 Einheiten gerechnet haben und da ist dann 3,5 rausgekommen, das ist hC1. Jetzt geht es weiter mit diesen Aufgaben: Bestimme hCn, das heißt, wir sollen also für irgendwelche Punkte Cn einen Term angeben, sodass wir mit diesem Term hCn bestimmen können, das heißt die Länge von hCn suchen wir. Wenn wir also irgendeinen Punkt Cn nehmen, dann hat dieser Punkt 2 Koordinaten in unserem freundlichen Koordinatensystem, und diese Koordinaten müssen wir jetzt irgendwie in einen Term packen, sodass, wenn man dann die Koordinaten einsetzt in diesen Term, die Länge von hCn rauskommt. Das ist gefragt dabei. Wir können uns kurz überlegen, wie wir hier vorgegangen sind bei dieser Längenbestimmung. Wir haben erst mal 1,5 genommen, zumindest vom Denken her, ich habe es hier nicht als Erstes hingeschrieben, und haben dann diese 2 Einheiten dazugezählt, weil ja der Punkt C1 die y-Koordinate -2 hat. So weit, so gut, aber wenn wir das jetzt allgemein fassen wollen, müssen wir uns bisschen mehr Gedanken dazu  machen. Wir können uns erst mal überlegen, was muss in diesem Term überhaupt vorkommen. Es muss sicher die 1,5 irgendwie vorkommen, denn diese Höhe, um die es hier gehen wird oder auch die Höhe, die hier dann irgendwann sein wird, wenn die Punkte C irgendwann da ganz unten sind, diese Höhe hat ja sicher was mit der x-Koordinate von B und von A zu tun, die ja gleich ist. Also, das wird da sicher irgendwo vorkommen müssen und wir haben hier schon jetzt 1,5 stehen. Und wir könnten jetzt zum Beispiel, wenn Cn negative x-Werte hat, also negative Abszissenwerte, dann den Betrag von x einfach addieren. Das würde dann richtig sein für negative x-Werte von Cn. Hätten wir aber x-Werte, die zwischen 0 und 1,5 liegen, dann wäre das nicht richtig. Denn, wenn wir den x-Wert zum Beispiel 1 hätten, dann würden wir rechnen 1,5 + 1 und da käme dann 2,5 raus, die Höhe wäre aber nur 0,5. Das heißt, wir müssten also, wenn es diese positiven Werte hier sind, eigentlich x abziehen. Funktioniert es dann auch für die negativen Werte? Ja, es funktioniert für negative Werte, denn, wenn wir für x was Negatives einsetzen, dann rechnen wir ja Minus, Minus und das ist  zusammen Plus. Das heißt, wenn wir hier jetzt zum Beispiel -2 einsetzen, rechnen wir 1,5 - (-2) = 3,5 und das ist das, was wir hier auch ausgerechnet haben. Was ist jetzt, wenn die x-Koordinate von Cn größer als 1,5 ist? Dann müssten wir ja eigentlich die Differenz bilden von 1,5 und dem x-Wert. Das heißt, wenn jetzt x zum Beispiel 5 ist, dann müssten wir rechnen 5 - 1,5. Das können wir aber auch so stehen lassen. Wenn wir hier den Betrag drumsetzen, dann bilden wir die Differenz. Die Differenz ist auch immer positiv dann und das ist allgemein hCn. Manchmal, möchte ich nur drauf hinweisen, steht hier auch ein xn. Kann man halten, wie man will, aber ich habe es jetzt nicht hingeschrieben. Aber gemeint ist natürlich die x-Koordinate eines beliebigen Punktes C oder Cn. Wenn wir dann noch den Flächeninhalt des Dreiecks ABCn in Abhängigkeit von der Abszisse von Cn darstellen sollen, dann ist jetzt nicht mehr viel zu tun. Das ist zwar eine komplizierte Formulierung, aber letzten Endes sind wir ja fertig. Die Aufgabe ist auch ein bisschen dazu da, dass du dich an die Formulierungen gewöhnst, denn ich muss jetzt einfach nur die Flächenformel hinschreiben im Dreieck. Ja, würde ich sowieso als Erstes machen, wenn ich da irgendwie einen Flächeninhalt darstellen soll, überlege ich mir erst mal, was ist die Flächenformel. Wir haben ½ Ø Grundseite Ø Höhe. Grundseite, sage ich Mal, ist jetzt die Seite AB. Eine andere kommt hier jetzt auch nicht infrage, die anderen kennen wir ja alle gar nicht. Diese Grundseite hat die Länge 4. Ich glaube, das siehst du so. Das ist die Differenz der y-Werte, die ist 4. Dann müssen wir mit der Höhe multiplizieren. Die Höhe haben wir ja hier stehen. Also Ø Betrag von (1,5 - x). Aufgabe d ist fertig! Ja, so schnell kann das gehen, auch wenn da Mal was ganz Kompliziertes steht. Also, wenn man jetzt die Fläche des Dreiecks ABCn in Abhängigkeit von darstellen soll, dann bedeutet das immer, wir müssen eine Gleichung aufstellen. Hier soll dann die Fläche stehen und hier soll ein Term stehen, in dem eine Variable vorkommt, und z war nur die Variable, um die es hier geht, die hier angegeben ist. Das ist allgemein damit gemeint. Und hier wird gesagt, es soll die Abszisse von Cn sein, das ist also der x-Wert von Cn und der steht hier. Und hier haben wir eben einen Term, der als Variable hier nur das x enthält. Eine Sache fällt mir noch ein. Hier, das kann man natürlich auch so schreiben. Das Andere wäre zwar auch richtig, ist aber ein bisschen unanständig, das dann so stehen zu lassen. Also, ½ Ø 4 ist ja 2. Und dann geht es noch um den Definitionsbereich von Cn. Definitionsbereich bedeutet, welche x kann man hier einsetzen, sodass wir dann einen vernünftigen Punkt Cn bekommen. Das ist hier mit dem Definitionsbereich gemeint. Mann kann sich zum einen überlegen, alle Punkte, die jetzt hier auf der Geraden weitergehen, so nach oben, sind geeignet, um ein Dreieck zu konstruieren, das ist klar. Mir ist es klar, ich hoffe, dir ist es auch klar. Ich weiß auch gar nicht, wie ich es erklären soll. Dann hat man halt ein Dreieck. Wenn man jetzt weiter hier runtergeht und die Gerade immer weiter da rüber geht in diese Richtung, dann haben wir irgendwann Dreiecke, die sind dann ganz schmal. Die gehen da irgendwo hin. Dann haben wir auch Dreiecke. Aber es gibt eine Möglichkeit, da gibt es ein Problem, nämlich, wenn ich hier diese Gerade weiter verlängere, die Strecke verlängere von einer Geraden, so heißt es richtig, und da den Schnittpunkt mit dieser Geraden G erhalte, dann habe ich kein Dreieck. Wenn ich auf diesen Schnittpunkt C einzeichne, dann habe ich ja nur eine Strecke. Das heißt, man müsste in dem Fall also sagen, dass man für x alle möglichen Zahlen einsetzen kann außer die Zahl, die zu diesem Punkt C führt, der dann hier auf dieser Geraden liegt. Das ist die Zahl 1,5. Und das kann ich kurz so aufschreiben: Ich weiß nicht, ob du diese Symbole gehabt hast. Falls nicht ist auch egal, dann lernst du es jetzt. x ist Element der reellen Zahlen oder auch der rationalen Zahlen Q (manchmal wird das so, manchmal wird das so gemacht) außer die 1,5. Und genauer gesagt ist das hier die Menge R der reellen Zahlen oder die Menge Q der rationalen Zahlen ohne die Menge, die die Zahl 1,5 enthält. Also alle anderen Zahlen außer 1,5, die darf man für x einsetzen. So, damit ist die  Aufgabe dann endgültig erledigt. Viel Spaß! Tschüss!

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