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Transkript dreidimensionales Koordinatensystem

Hallo, die Vektoren wären quasi nur die Hälfte wert, wenn man sie nicht in ein Koordinatensystem einordnen könnte. Wir wollen hier dreidimensional arbeiten und daher benötigen wir ein dreidimensionales Koordinatensystem. Du kannst eins aufzeichnen, da komm ich gleich noch dazu, wie man das macht, oder du kannst dir eins in real selber bauen. Dazu brauchst du ein paar Schaschlikstäbchen und Knetwachs. Beides nicht teuer. So ein Koordinatensystem hat den Vorteil, dass du es ganz schnell auf-, und wieder abbauen kannst. Der Knetwachs ist immer wieder verwendbar, da kann nichts passieren. Diese Kugel verwende ich schon seit Jahren, sie ist immer noch dieselbe geblieben. Wie macht man das? Du brauchst einen Standfuß. Ich hab mir mal einen Luxusschraubstock gegönnt, der nach allen Seiten schwenkbar ist und einen Saugfuß hat. Das brauchst du so nicht, du kannst einfach eine Kleberolle nehmen und den Knetwachs drauf stecken, einmal andrücken und fertig. Dann kannst Du die Schaschlikstäbchen dort reinstecken. Dann brauchst du für den 0-Punkt auch Knetwachs, noch eine zweite Kugel davon, und kannst dann da einfach so diese Achsen da reinstecken. Ich baue das jetzt so auf, dass du da so ein bisschen schräg drauf guckst von vorne. Ich hoffe, das ist alles in den richtigen Winkeln. Ansonsten, wenn das eben nicht passt: Du kannst sofort die Stäbchen wieder herausnehmen und woanders platzieren. Da ist das Koordinatensystem fertig. Das hier übrigens ist die X1-Achse, das hier ist der positive Teil der X2-Achse. Das hier ist natürlich der positive Teil der X1-Achse. Ich drehe das auch noch mal ein bisschen, auch das geht. Man hat sich darauf geeinigt, dass der positive Teil der X1-Achse immer zu dir hin zeigt. Ich führe das jetzt natürlich umgekehrt vor, sodass das für dich richtig ist. Für mich wäre das selbstverständlich umgekehrt. Hier nach rechts ist also der positive Teil der X2-Achse oder man sagt auch Y-Achse. Hier oben ist der positive Teil der Z-Achse oder X3-Achse. Beide Bezeichnungen sind üblich. Und wenn du jetzt mit Vektoren arbeitest, dann kannst du einfach wieder Knetwachskügelchen nehmen, die irgendwo dran packen, und dann kannst du hier deinen Vektor dazu packen. Du kannst ihn auch noch weiter nach oben aufbauen. Zum Beispiel, wenn du eine Strecke im Koordinatensystem zurücklegen möchtest, dann geht das auch so. Das kann man natürlich nicht ewig weiter basteln: Hier dreht es sich schon etwas. Macht nichts, man kann auch ein Gewicht nach hinten dran tun, dann geht das wieder. Das werde ich hier auch mal machen, nur um mal zu zeigen, das geht eigentlich relativ fix hier. Ich komme mir fast vor wie bei einer Werbeveranstaltung. Jetzt hängt sie sich da ein bisschen ab, aber das macht nichts. Das kann man alles wieder gerade rücken. Und so kannst du dir alle möglichen Vektoren dran bauen und dir alle möglichen Sachen wirklich dreidimensional vorstellen. Und wenn du es abbauen willst: Einfach Stäbchen rausziehen und weglegen.  Dann komme ich dazu, wie kannst du ein dreidimensionales Koordinatensystem zeichnen? Ich hab hier einmal ein zweidimensionales Koordinatensystem vorbereitet. Hier ist normalerweise die X-Achse, da ist die Y-Achse. Das wird sich jetzt ändern. Das hier wird die Y-Achse sein und das die Z-Achse, bzw. das hier ist die X2-Achse und das ist die X3-Achse. Hier wird der positive Teil der X2-Achse sein, hier ist der positive Teil der X3-Achse. Und wo ist die X1-Achse? Dazu kannst du in deinem Buch wahrscheinlich folgende Angabe finden, dass der positive Teil der X1-Achse mit dem positiven Teil der X2-Achse einen 135-Grad-Winkel bildet und die Einheiten auf der X1-Achse gestaucht sind. Und zwar um den Faktor 1 ÷ \sqrt 2, bzw. 1/2 × \sqrt 2, oder so ähnlich. Was bedeutet das? Das ist die etwas verklausulierte Angabe dafür, dass du die X1-Achse oder die X-Achse, wie man auch sagt, einfach durch diese Kästchenecken durchziehen sollst. Du wirst wahrscheinlich ein Papier benutzen, auf dem Rechenkästchen sind. Und dann soll die X1-Achse oder die X-Achse sich hier befinden. Und sie soll durch diese Kästchenecken einfach diagonal durchgezeichnet werden. Wenn man das komplizierter ausdrückt, so wie ich das gerade am Anfang gemacht habe, dann macht man das natürlich, falls man keine Kästchen hat, dann muss man das auch schon so sagen. Hier ist also jetzt der positive Teil der X1-Achse, hier ist der positive Teil der X2-Achse, beziehungsweise X-Achse, Y-Achse. Und hier haben wir einen Winkel von 135 Grad. Und die Stauchung um den Faktor 1 ÷ \sqrt 2 hat Folgendes auf sich: Wenn hier -1 ist und hier ist +1, normalerweise macht man das so. Bei dir im Heft haben die Kanten der Kästchen eine Länge von 0,5 cm, ziemlich genau. Hier ist dann 1 cm, und wenn nichts anderes gesagt wird, zeichnest Du das Koordinatensystem so, dass die Einheit 1 bei 1 cm ist. Hier natürlich genau so, hier ist die 1. Du gehst also 2 Kästchen immer für eine Einheit. Hier ist das anders. Du gehst nicht 2 Diagonalen, um zu einer Einheit zu kommen, sondern die erste Einheit auf der X1-Achse ist schon nach der ersten Diagonalen da und hier ist die 2 schon. Und diese Strecke hier ist ja kürzer, als diese Strecke von 0 zu -1 oder von 0 zu +1. Diese Strecke entsteht, wenn man diese Strecke mit dem Faktor 1 ÷ \sqrt 2 multipliziert. Um irgendwelche Verwirrungen zu vermeiden: diese Angabe: Stauchung um 1 ÷ \sqrt 2hat mehrere Gesichter. Man kann zum einen sagen 1 ÷ \sqrt 2, man kann auch sagen 1/2 × \sqrt 2. Man kann auch sagen, ich hoffe, das kennst du aus der Potenzrechnung und aus der Wurzelrechnung, das sollte dich jetzt nicht durcheinander bringen, dass 1 ÷ \sqrt 2 und 1/2 × \sqrt 2 dasselbe ist. Es ist dieselbe Zahl, derselbe Punkt auf der Zahlengeraden. Dieses kann man natürlich noch anders ausdrücken, man kann auch sagen (\sqrt 2)^-1, das ist zwar eher unüblich, aber wäre auch möglich. Und man kann natürlich sagen 2^-1/2. Da musste ich selber eben überlegen. Man kann zum einen sagen 1 ÷ \sqrt 2, man kann auch sagen 1/2 × \sqrt 2. Eine von den Angaben kannst du also finden, in den Aufgaben, die dich dann erwarten. Übrigens, bei Abituraufgaben ist das oft auch mit angegeben, wie das Koordinatensystem aussehen soll und da steht dann die Sache mit dem 135 Grad Winkel und mit diesem Stauchungsfaktor. Da solltest du wissen, worum es geht, damit Du nicht gleich am Anfang bei der Abituraufgabe dann schon mal durcheinander kommst. Das war es dazu, das sind die Möglichkeiten Koordinatensysteme zu zeichnen oder selbst zu bauen. Weitere Aufgaben folgen. Viel Spaß, tschüss.

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