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Transkript Drehung und Drehsymmetrie von Figuren

Ganz herzlich willkommen zu diesem Geometrievideo! Es heißt: Drehung und Drehsymmetrie. Ihr wisst schon, was Spiegelungen und Parallelverschiebungen sind. Nachher könnt ihr die Drehung erklären, ausführen und erkennen, wann Drehsymmetrie besteht. Der Film besteht aus 4 Abschnitten: 1. Überall Drehbewegungen 2. Die Drehung 3. Drehsymmetrie 4. Drehsymmetrie und Punktsymmetrie   1. Überall Drehbewegungen Drehbewegungen findet man überall im Leben. Ein Rad dreht sich. Bei der Pirouette beim Tanzen findet eine Drehung statt. Bei der Windkraftanlage dreht es sich. Im Planetensystem drehen sich die Planeten um die Sonne. Und schließlich: Eine DVD dreht sich auch.   2. Die Drehung Wir wollen nun einmal der Frage nachgehen, was Drehung im mathematischen Sinne eigentlich ist. Wir haben ein Dreieck, das gedreht werden soll. Daher stellen wir es besser so dar. Das Dreieck hat die Eckpunkte A, B und C. Wichtig ist zu wissen, wie gedreht werden soll. Daher benötigt man einen Punkt Z. Dieser Punkt ist das Drehzentrum. Die 3 Dreieckspunkte liegen auf Kreisbögen mit dem Zentrum Z. Ich werde diese Bögen nun mit dem Zirkel zeichnen. Es ergeben sich unterschiedliche Abstände von Z zu diesen Punkten. Aus A erhält man A', aus B entsteht nach der Drehung B', und aus C wird C'. So lag das Dreieck ABC vor der Drehung. Nach der Drehung ist es in Position A'B'C'. Wir verbinden nun die Bildpunkte A', B' und C' miteinander. Mit Schwarz wurde das Dreieck vor der Drehung gezeichnet. Das rote Dreieck ist das Bilddreieck nach der Drehung. Um drehen zu können, müssen wir wissen, wo das Drehzentrum ist. Aber die Kreisbögen, auf denen gedreht wird, sind doch alle unterschiedlich lang. Welche Vorschrift für das Drehen muss man noch angeben? Z und B sind bereits verbunden. Nun wollen wir noch Z und B' verbinden. Das Gleiche tun wir mit Z und C' und auch mit Z und A'. Wir haben Winkel erhalten: den Winkel AZA' und auch den Winkel BZB'. Beide Winkel sind gleich groß. Beide sind genauso groß wie der Winkel CZC'. Wir nennen diesen Winkel α. In unserer Zeichnung beträgt er 30°. Warum das so ist? Nun ja, das habe im Geheimen ausgemessen. Der Winkel muss nicht immer 30° betragen. Wir drehen hier um einen Drehpunkt, der außerhalb des Dreiecks liegt. Die Winkel AZA', BZB' und CZC' müssen gleich sein. Wenn zum Beispiel Z=B gilt, so haben wir einen Spezialfall. Drehsymmetrie tritt dann ein, wenn man um 180° dreht. Die Drehung erfolgt also so. Jedem Punkt P wird ein Bildpunkt P' auf einem Kreis mit Drehzentrum Z zugeordnet. Und 2.: Alle Punkte P und ihre Bildpunkte P' bilden mit Z denselben Drehwinkel. Wichtig für die Drehung sind somit das Drehzentrum Z und der Drehwinkel α.   3. Drehsymmetrie Betrachten wir dieses Drehzentrum und diese zu drehende Figur. Das Drehzentrum soll sich im Zentrum dieser Figur, dieses gleichseitigen Dreiecks befinden. Was passiert nun, wenn wir drehen? Nachdem wir um einen bestimmten Betrag gedreht haben, erhalten wir wieder das ursprüngliche Dreieck. Wie groß ist dieser Drehwinkel? Er beträgt 120°. Eine Figur heißt drehsymmetrisch, wenn sie bei einer Drehung von weniger als 360° auf sich selbst abgebildet wird. 120°< 360°, die Figur ist drehsymmetrisch. Das gleichseitige Dreieck ist drehsymmetrisch mit einem Drehwinkel von 120°. Eine neue Figur: ein Quadrat. Im Zentrum des Quadrates soll das Drehzentrum sein. Die Diagonalen schneiden sich im Drehzentrum Z. Der Winkel zwischen ihnen beträgt 90°. Bei Drehung um 90° mit dem Drehzentrum Z erhalten wir wieder unser Quadrat. α=90° und das ist < 360^. Das Quadrat ist drehsymmetrisch. Hier haben wir ein regelmäßiges Fünfeck. Das Drehzentrum Z liegt in seinem Zentrum. Wir zeichnen Linien von den Eckpunkten bis zum Zentrum. Es werden Winkel von jeweils 72° gebildet. Bei Drehung um 72° mit dem Drehzentrum Z entsteht wieder das gleiche regelmäßige Fünfeck. α=72°< 360°. Das regelmäßige Fünfeck ist drehsymmetrisch. Und nun noch das regelmäßige Sechseck. Im Zentrum liegt das Drehzentrum. Wir zeichnen die Diagonalen ein. Am Zentrum ergeben sich Winkel von jeweils 60°. Bei Drehung um jeweils 60° erhalten wir das gleiche regelmäßige Sechseck. α=60°< 360°. Das regelmäßige Sechseck ist drehsymmetrisch.   4. Drehsymmetrie und Punktsymmetrie Das hier ist ein unregelmäßiges Dreieck. Ist es symmetrisch? Leider nein. Man kann aber eine interessante Eigenschaft finden, die für jede Figur gilt. Wir drehen um das Drehzentrum Z, wobei Z ein Eckpunkt sein soll. Z und der Eckpunkt B des Dreiecks fallen zusammen. Wir wollen nun um 180° drehen. Wir erhalten das Dreieck A'B'C'. Fällt euch etwas auf? Richtig! Eine Drehung um 180° entspricht einer Punktspiegelung. Die Lage des Drehzentrums Z ist dabei egal.   So, das war es für heute. Ich wünsche euch alles Gute und viel Erfolg. Tschüss!  

Informationen zum Video
26 Kommentare
  1. Default

    Schakusel Digga$$$$$$$!!!! :) :()

    Von S Stumberga, vor 6 Monaten
  2. Default

    Man kann es mit Geodreieck machen

    Von Rossatchka, vor 6 Monaten
  3. Felix

    @Nalcamurat: Bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Bei umfangreicheren Fragen kannst du dich auch gerne an den Hausaufgaben-Chat wenden, der dir von Mo-Fr von 17-19 Uhr zur Verfügung steht.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.

    Von Martin Buettner, vor 8 Monaten
  4. Default

    ich verstehe nicht die drehsymetrie !!!!

    Von Murat N., vor 8 Monaten
  5. Default

    Lieber Herr Dr. Otto, warum kam die Antwort nicht gleich??? Schließlich war das von Anfang an meine Frage.... natürlich trotzdem vielen Dank ...

    Von Sil Heck1, vor mehr als einem Jahr
  1. 001

    Liebe Silke,

    natürlich muss A´gegeben sein. Ich habe den Punkt willkürlich gewählt.
    Alles Gute

    Von André Otto, vor mehr als einem Jahr
  2. Default

    Hallo Herr Dr. Otto,
    vielen Dank für Ihre schnelle Antwort. Ich kann auch alles nachvollziehen, nur leider ist mir A' ja nicht gegeben. Genau das möchte ich ja wissen, wie ich A' auf den Kreisbogen von A um Z konstruieren kann. Silke Heckmann

    Von Sil Heck1, vor mehr als einem Jahr
  3. 001

    Liebe Silke,
    1) Messen ist generell gut, bei Konstruktionen wird aber nicht gemessen.
    2) Wenn Z gegeben ist und A´ vorgegeben wurde, ist eigentlich alles klar: Der "Trick" hier ist, dass nicht Winkel vermessen werden, sondern die Kongruenz von ABC und A´B´C´benutzt wird.
    Man stellt im Zirkel somit AB ein, sticht in A´ein und schlägt einen Kreisbogen um A´. Der Schnittpunkt mit der Winkelkreislinie von B ergibt dann B´. Analog verfährt man mit C und erhält C´.
    3) a) Es gibt immer zwei Schnittpunkte mit den Kreiswinkellinien. Bitte auf die Richtung der Drehung achten. Ansonsten erhält man A´B´C´gespiegelt.
    b) Bei meinem Beispiel wäre es klüger gewesen, zuerst C´zu konstruieren, da der Schnittpunkt auf der Kreiswinkellinie deutlicher zu sehen ist. B´ durch den Abstand C´B´ ist dann leicht abzutragen.
    Vielen dank für die Frage.
    Alles Gute

    Von André Otto, vor mehr als einem Jahr
  4. Default

    Hallo Dr. Otte,
    ich habe eine Frage zur ersten Drehung des Dreieckes...
    nachdem Sie die Kreisbögen von A,B und C gezogen haben, haben Sie einfach die Bildpunkte A', B' und C' auf den jew. Kreisbogen markiert ohne den Abstand auszurechnen. Ich habe es eben versucht nachzuvollziehen. Der Winkel von 30° steht ja nicht fest, oder? Wie komme ich also an den Abstand A zu A', B zu B' usw.... Setze ich willkürlich einen Punkt A' auf den Kreisbogen, stimmt der jew. Winkel AZA'...LG Silke Heckmann

    Von Sil Heck1, vor mehr als einem Jahr
  5. Default

    sorry, nun habe ich auch noch Ihren Namen falsch geschrieben,,, sorry Herr Dr. Otto....Silke Heckmann

    Von Sil Heck1, vor mehr als einem Jahr
  6. Default

    gut

    Von Deleted User 208225, vor mehr als einem Jahr
  7. 001

    Das kann vorkommen.
    Noch mal schauen, gemeinsam schauen, manchmal anhalten, das wichtigste aufschreiben, Fragen / Probleme formulieren, kommunizieren / diskutieren
    Alles Gute

    Von André Otto, vor mehr als einem Jahr
  8. Default

    Eigentlich gut habe es aber nicht verstanden

    Von Ulli Hoe, vor mehr als einem Jahr
  9. Default

    Gutes Video :D Danke!

    Von Natalie 2011, vor fast 2 Jahren
  10. 001

    Kurz gesprochen: Alle Punkte von Bild und Spiegelbild haben den gleichen Abstand von dem Punkt P. Man zeichnet zum Beispiel einen Strahl vom Eckpunkt A eines Dreiecks über den Punkt P hinaus. Dann sticht man mit dem Zirkel in P ein und stellt den Abstand AP ein. Jetzt schlägt man einen Kreisbogen mit diesem Radius um P. Der Schnittpunkt A´ auf der anderen Seite des Strahls ist punktsymmetrisch zu A. Das gleiche tust du mit den anderen Eckpunkten B und C des Dreiecks und du erhältst B´ und C´. Du verbindest nun A´, B´ und C´ miteinander. Das Dreieck A´B´C´ ist punktsymmetrisch zum Dreieck ABC bezüglich des Punktes C.
    Alles Gute

    Von André Otto, vor fast 2 Jahren
  11. Default

    Insgesamt gutes Video aber ich hab immer noch nicht verstanden was Punktsymetrisch ist

    Von Istanbulreklame, vor fast 2 Jahren
  12. Default

    Gutes Video :D

    Von Oldionabdija, vor fast 2 Jahren
  13. Abstract beach volleyball david g paul

    Sie haben nicht gezeigt wie man A' B' C' misst und zeichnet. Genau das wollte ich wissen.

    Von Roberto K., vor etwa 2 Jahren
  14. 001

    Nimm dir zwei entsprechende Punkte von Urbild und Bild A und A´ sowie B und B´. Zeichne nun die Hilfsstrecken AA´ sowie BB´. Konstruiere zu beiden Strecken die Mittelsenkrechten. Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten ist der Drehpunkt.
    Alles Gute

    Von André Otto, vor mehr als 3 Jahren
  15. Default

    und was ist wenn man den drehpunkt z erst HERAUSFINDEN muss??? HIIILFE!!!

    Von Idalina, vor mehr als 3 Jahren
  16. 001

    Hallo,
    ich bin nicht der Ansprechpartner. Wende dich bitte direkt an sofatutor.
    Alles Gute

    Von André Otto, vor mehr als 3 Jahren
  17. Default

    Könnten ihr bitte ein video machen wo die drehung im Koordinatensystem zur kontrolle der konkurenzabbildung
    danke:)

    Von Regina S., vor mehr als 3 Jahren
  18. Default

    :-)

    Von Danielle1231, vor mehr als 3 Jahren
  19. Default

    Das mache ich täglich. Danke schön!

    Von Shabana.A, vor fast 4 Jahren
  20. 001

    Wichtig ist auch, selber viel zu üben.
    Alles Gute

    Von André Otto, vor fast 4 Jahren
  21. Default

    Oh, vielen Dank! Jetzt weiß ich genau Bescheid! Ich hoffe in der nächste Arbeit habe ich genau so viel Glück wie bei der letzten. Da hatte ich eine große Verbesserung.

    Von Shabana.A, vor fast 4 Jahren
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