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Transkript Diskrete Wahrscheinlichkeitsfunktion und Verteilungsfunktion – Beispiel

Hallo. Es geht um eine Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Zufallsgröße und um die zugehörige Verteilungsfunktion. Wir stellen uns folgendes Zufallsexperiment vor: Wir würfeln mit 2 unterscheidbaren Würfeln. Die müssen nicht unterschiedliche Farben haben, um sie zu unterscheiden. Das ist hier von dir aus gesehen der linke Würfel und das ist der rechte Würfel. Die werden also beide geworfen und die Ergebnisse sind die Paare der oben liegenden Augenzahlen oder einfach die Paare der oben liegenden Zahlen. Diesen Ergebnissen kann man weitere Zahlen zuordnen. Das ist dann eine Zufallsgröße, die diesen Ergebnissen Zahlen zuordnet, und zwar können wir das Minimum der gezeigten Zahl zuordnen. Die Zufallsgröße würde also dem Ergebnis 2, 3 die Zahl 2 zuordnen, weil die Zahl 2 die kleinere der beiden gezeigten Zahlen ist. Dieses Ergebnis bekommt auch die 2 zugeordnet, dieses Ergebnis bekommt die 5 zugeordnet, weil das Minimum zweier Fünfen gleich 5 ist, und so weiter. Wir können den Realisierungen dieser Zufallsgröße Wahrscheinlichkeiten zuordnen. Also, Realisierungen sind dann die Zahlen von 1 bis 6 und die Realisierung 1 bekommt die Wahrscheinlichkeit 11/36 zugeordnet, weil die Wahrscheinlichkeit einer Realisierung so definiert ist, dass es die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse ist, denen die Zahl 1 zugeordnet wird. Ich behaupte, das sind 11 Paare, 11 Ergebnisse. 11 Ergebnissen wird die Zahl 1 zugeordnet, und zwar deshalb: Wenn hier eine 1 steht, dann hat der Würfel 6 Möglichkeiten, eine Zahl zu zeigen. Jeweils wird halt die 1 zugeordnet durch die Minimumsfunktion, durch diese Zufallsgröße. Dann ist es aber auch möglich, dass der Würfel hier eine 2 zeigt und der eine 1, und der eine 3 zeigt und der eine 1. Und das sind halt insgesamt 11 Ergebnisse, die die 1 zugeordnet bekommen durch diese Zufallgröße X, so heißt die. Und die Wahrscheinlichkeit dieser Realisierung der Zufallsgröße ist dann 11/36 und ich glaube du kannst es für dich selber auch nachvollziehen, dass dann die Wahrscheinlichkeit der Realisierung 2 der Zufallsgröße X gleich 9/36 ist, und so weiter. Hier stehen dann die anderen Wahrscheinlichkeiten. Das Ganze kann man sich auch grafisch vorstellen, und zwar folgendermaßen: Das sieht so aus. Die Realisierung 1 bekommt 11/36 zugeordnet, die Realisierung 2 bekommt 9/36 zugeordnet, und so weiter. Ich glaube, das muss ich nicht weiter erklären. Das, was hier steht, sind einfach Bezeichnungen für diese Situation hier, also für die Situation, dass wir eine Zufallsgröße haben, die heißt X, und dieser Zufallsgröße werden Wahrscheinlichkeiten zugeordnet mithilfe der Wahrscheinlichkeitsfunktion P. Das liest man hier als P von X gleich x, oder man kann auch, wenn man genau sein möchte, P von groß X gleich klein x sagen. Es geht aber auch, dass man klein f von groß X schreibt oder einfach f(X). Damit meint man normalerweise das Gleiche. Ich sage deshalb normalerweise, weil diese Bezeichnungen hier nicht standardisiert sind. Wenn du dich ein bisschen umguckst in der Literatur oder bei verschiedenen Professoren und Lehrern, wirst du feststellen, dass doch mehrere Bezeichnungen da im Umlauf sind und dass nicht immer genau das Gleiche gemeint ist mit den Symbolen, die man hier hinschreibt. Damit kann auf jeden Fall gemeint sein die Wahrscheinlichkeitsfunktion der diskreten Zufallsgröße X. Wenn man das so schreibt, meint man meistens folgende Situation, die ich hier auch schon mal vorbereitet habe, und zwar die hier: f(X) ist so definiert, und bevor ich genauer darauf eingehe, was hier steht, möchte ich einfach die Idee sagen. Die Idee ist, dass man eine Funktion f auf allen reellen Zahlen definiert, auf der gesamten reellen Achse also, und wenn die Zahl eine Realisierung der Zufallsgröße X ist, dann bekommt diese Zahl die zugehörige Wahrscheinlichkeit zugeordnet. Wenn diese Zahl auf der reellen Achse keine Realisierung ist der Zufallsgröße, dann bekommt sie die 0 zugeordnet. Und das ist das, was hier steht. Vielleicht eine kleine Anmerkung noch zu dem xi: Man geht einfach davon aus, dass man den Realisierungen der Zufallsgröße Nummern gibt. Wie soll man das anders bezeichnen, was hier genau passiert? Also, man gibt den Realisierungen Nummern und kann dann formulieren, dass dieser bestimmten Realisierung die zu dieser Nummer gehörige Wahrscheinlichkeit zugeordnet wird. Das bedeuten hier diese "i"s halt. Da will ich gar nicht weiter darauf eingehen. Wenn du die Idee verstanden hast, dann ist das soweit o.k., würde ich sagen. Hier sehen wir dann wieder das i. Man stellt sich wieder vor, alle Realisierungen sind durchnummeriert und man geht alle Nummerierungen durch, addiert alle Wahrscheinlichkeiten, die dazugehören, also alle pi, und dann kommt 1 raus. Das hatten wir schon mal. Das ist einfach die Aussage, dass die Summe aller Wahrscheinlichkeiten gleich 1 ist bei diskreten Zufallsversuchen, bei diskreten Zufallsgrößen. Kleine Anmerkung zu dem N noch. Das ist dann quasi die letzte Nummer. Bei uns wäre das die 6. Wenn wir andere Zufallsgrößen haben, dann haben wir natürlich andere Nummern und hier kann auch unendlich stehen. Es ist ja möglich, dass wir unendlich viele Realisierungen einer Zufallsgröße haben, diese unendlich vielen Realisierungen alle positive Wahrscheinlichkeiten haben, die Summe aller Wahrscheinlichkeiten trotzdem 1 ist, und wenn es unendlich viele, also abzählbar unendlich viele sind, dann kann hier natürlich keine Zahl stehen, sondern dann muss da unendlich stehen. So, oder so ähnlich schreibt man das dann auf. Noch eine Kleinigkeit dazu, zu Symbolen, die in diesem Zusammenhang vorkommen, und zwar ist es das hier. Man stellt sich also vor, wir nehmen uns ein Intervall der reellen Achse. Das geht von a bis b. Wir können diesem Intervall eine Wahrscheinlichkeit zuordnen, und zwar so - ich gehe gleich genauer ein auf das, was hier steht - und zwar so: Wenn wir zum Beispiel das Intervall von 1,5 bis 4,5 nehmen, dann ordnen wir diesem Intervall die Summe aller Wahrscheinlichkeiten zu, die hier dazwischen sind, einfach gesagt. Wenn wir das Intervall von 1,5 bis 4 einschließlich haben, ordnen wir diese 3 Zahlen zu. Wenn wir das Intervall von 1,5 bis 4,5 haben, ordnen wir auch diese 3 Zahlen zu. Wenn wir von 2 bis 5 das Intervall haben, also jeweils einschließlich der Grenzen, dann müssen wir diese 4 Wahrscheinlichkeiten von 2 bis 5 zuordnen. Also, nichts anderes steht hier. Also, die Summe der Wahrscheinlichkeiten jeweils, meine ich. Das ist das, was hier steht. Wir gehen also alle Realisierungen durch, die sich zwischen a und b befinden. Das ist hier mit dieser Sache gemeint. Wir bilden jeweils f von dieser Realisierung, ordnen also die entsprechende Wahrscheinlichkeit zu und summieren alle Wahrscheinlichkeiten. Das ist hier wieder das Summenzeichen. Das wird manchmal unten ein bisschen verlängert, manchmal oben auch, wie auch immer. Wenn man so viel schreiben muss, dann wird es etwas länger gezeichnet. Das ist das, was hier steht und P steht dann wieder für die Funktion, die Wahrscheinlichkeiten zuordnet, für die Wahrscheinlichkeitsfunktion. Dann kommt noch die Verteilungsfunktion. Auch das habe ich hier schon mal vorbereitet. Wie ist das zu verstehen? Nehmen wir mal den Funktionswert der Verteilungsfunktion bei 2,5. Der ist 20/36. Das habe ich jetzt zwar hier nicht eingezeichnet, aber ich weiß es trotzdem. Woher weiß ich das? Man summiert alle Wahrscheinlichkeiten von minus unendlich bis 2,5 und das sind halt die Wahrscheinlichkeiten bei 1 und bei 2. Deshalb hat die Verteilungsfunktion hier als Funktionswert die Summe der beiden Wahrscheinlichkeiten bei der Realisierung 1 und 2 und das sind zusammen halt 20/36. Bei 1 hat die Verteilungsfunktion den ersten Funktionswert ungleich 0, wenn man mal so von hier die Achse durchgeht, und der ist dann 11/36. Bei 1,7 ist er auch 11/36, weil bis hier hin nur eine Wahrscheinlichkeit, nämlich die von 11/36, existiert. Es werden alle Wahrscheinlichkeiten summiert von minus unendlich bis zu dieser Zahl und links von 1 ist die Verteilungsfunktion gleich 0. Das kann man hier vielleicht nicht so gut sehen, weil ich alles in Schwarz gezeichnet habe. Links von 1 ist sie deshalb 0, weil dort keine Wahrscheinlichkeiten sind, und dann können wir von minus unendlich bis dahin ruhig was summieren. Dann kommt immer noch nichts dabei raus. Ja, das war es zu dieser Situation und zu den Symbolen. Ich hoffe, es war nicht zu klein-klein, aber man muss ja auch ein bisschen wissen, was das alles jetzt genau bedeuten soll, wenn man diese Symbole liest. Viel Spaß damit trotzdem. Tschüss.

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1 Kommentar
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    Wie immer : Top Video , gut erklärt !

    Von Deleted User 11898, vor mehr als 6 Jahren