Advent, Advent, 1 Monat weihnachtliche Laufzeit geschenkt.

Nicht bis zur Bescherung warten, Aktion nur gültig bis zum 18.12.2016!

Textversion des Videos

Transkript Differenzenquotient bestimmen

In vielen Bereichen der Mathematik behandelt man Funktionen, deren Steigung nicht konstant ist. Um dennoch einen sinnvollen Wert für die Steigung in einem bestimmten Bereich der Funktion anzugeben, benutzt man einen Mittelwert – den sogenannten Differenzenquotienten. In diesem Video übst du, diesen zu bestimmen.

Definition Differenzquotienten

Als kurze Erinnerung: den Differenzenquotienten benötigt man um den mittleren Anstieg zwischen zwei Punkten von krummlinigen Funktionen zu bestimmen. Hier zum Beispiel zwischen den Punkten P0 und P1.

Dabei ist die mittlere Steigung zwischen P0 und P1, der Anstieg der Sekante durch diese Punkte.

Du berechnest den Anstieg dieser Geraden wie üblich mit einem Steigungsdreieck. Die Sekantensteigung nennt man auch den Differenzenquotienten. Der Name Differenzenquotient kommt daher, dass im Zähler und im Nenner Differenzen stehen.

Beispielaufgabe 1 zur Bestimmung des Differenzenquotienten

Nun stellt sich die Frage, was du damit eigentlich anfangen kannst. Dazu ein paar praktische Beispiele.

Bei einer gleichförmigen Bewegung bildet das Verhältnis zwischen Weg und Zeit eine Gerade. Die Steigung dieser Geraden entspricht der Geschwindigkeit. Diese ändert sich hier nicht.

Wenn sich allerdings die Geschwindigkeit erhöht, spricht man von einer beschleunigten Bewegung. Dies bedeutet, das Auto wird schneller. Wie kannst du nun für einen bestimmten Zeitabschnitt die durchschnittliche Geschwindigkeit bestimmen? Genau, mit dem Differenzenquotienten.

Nimm dazu einmal an, dass wir das Verhältnis von Zeit und Weg mit der Funktion f von x ist gleich x hoch 2 beschreiben können. Den Weg messen wir in Metern und die Zeit in Sekunden. Jetzt brauchst du noch die dazugehörige Wertetabelle.

Die Frage ist nun, in welchem Zeitintervall wir die Durchschnittsgeschwindigkeit ermitteln wollen. Als Beispiel wählen wir jetzt einmal die Zeit vom Start bis zur vierten Sekunde, also zwischen x=0 und x=4.

Für dieses Zeitintervall zwischen x=0 und x=4 bestimmen wir nun den Differenzenquotienten, indem wir den Quotienten aus den Differenzen f von 4 minus f von 0 und 4 - 0 bilden. Wir erhalten damit die Rechnung 16 - 0 geteilt durch 4 - 0. Unsere durchschnittliche Geschwindigkeit im Zeitintervall zwischen x=0 und x=4 beträgt damit 4 Meter pro Sekunde.

Probier es gleich noch einmal. Wie groß ist die durchschnittliche Steigung zwischen x=2 und x=6? In die Formel eingesetzt wäre das 36 - 4 geteilt durch 6 - 2. Also 32 geteilt durch 4. Das ergibt eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 8 Metern pro Sekunde.

Beispielaufgabe 2 zur Bestimmung des Differenzenquotienten

Ein weiteres Beispiel. Bei dem Wachstum eines Baumes spielt das Wetter eine große Rolle. Ein Baum wächst bei Sonnenschein schneller und bei zu wenig Regen langsamer. Vereinfacht ist das in diesem Graphen dargestellt. Ist das Wetter ausgeglichen, wächst der Baum ca. linear. Gibt es viel Sonne und Regen, fängt er an schneller und schneller zu wachsen. Wenn im dritten Abschnitt die Trockenperiode beginnt, flaut das Wachstum stark ab, da es weder genug Sonne noch Regen gibt.

Im Schaubild ergibt sich ein Verhältnis von Höhe und Zeit, das man auch als Geschwindigkeit auffassen. Es beschreibt, wie der Baum wächst.

Nun schau dir einmal diese Steigungsdreiecke an. Sie sind in den drei Abschnitten sehr unterschiedlich. Angenommen man kann den ersten Abschnitt mit der Funktion f von x ist gleich ½ mal x beschreiben, den zweiten Abschnitt mit g von x ist gleich x hoch 3 und den dritten Abschnitt mit h von x ist gleich die Wurzel von x.

Der Differenzenquotient beschreibt das durchschnittliche Wachstum in cm pro Woche. Die Aufgabe lautet nun, die Differenzenquotienten der drei Abschnitte in einem Zeitraum von jeweils 4 Wochen zu vergleichen.

Für das Wachstum im ersten Abschnitt mit f von x ist gleich ½ mal x ergibt sich 2 - 0 geteilt durch 4 - 0. Das ergibt ½ cm pro Woche. Da es sich hier um eine Gerade handelt, hätte man das natürlich auch einfach ablesen können.

Für den zweiten Abschnitt mit g von x ist gleich x hoch 3 ergibt sich 64 - 0 geteilt durch 4 - 0. Das Wachstum ist mit 8 cm pro Woche in diesem Abschnitt besonders groß.

In der Trockenperiode mit h von x ist gleich Wurzel von x, beträgt der Differenzenquotient 2-0 geteilt durch 4-0. Das ergibt ein Wachstum von ½ cm pro Woche, dasselbe wie im ersten Abschnitt.

Das war es auch schon von mir. Es gibt noch viele weitere Beispiele , da die meisten Formen in der Natur und in vielen Anwendungsbereichen krummlinig sind. Der Differenzenquotient kommt hier also häufig zum Einsatz!

Informationen zum Video
6 Kommentare
  1. Default

    Super erklärt!

    Von Fhoffmann1, vor 15 Tagen
  2. Sarah2

    @Miriwawa: Die Zahlen erhältst du, indem du in die jeweiligen Funktionsgleichungen f(x), g(x) und h(x) für x "4" und "0" einsetzt: Bei f(x)=(1/2)*x heißt der Nenner statt x-x_0 dann 4-0 und der Zähler ergibt sich für f(x)-f(x_0) dann f(4)-f(0). f(4) ist (1/2)*4 =2 und f(0) ist (1/2)*0 =0. So ist der erste Zähler 2-0. Bei g(x)=x^3 bleibt wegen der gleichen Zahlen der Nenner gleich, der Zähler ergibt sich über g(4)-g(0) dieses Mal eine andere Differenz, weil die Funktion eine andere ist: g(4) ist 4^3, g(0) ist 0^3. Daher ergibt sich im Zähler dann 64-0. Bei h(x) gehst du nach dem gleichen Prinzip vor. Ich hoffe, ich konnte dir helfen.

    Von Sarah Kriz, vor etwa 2 Jahren
  3. Default

    Woher kommen die Zahlen in der Baumaufgabe?

    Von Miriwawa, vor etwa 2 Jahren
  4. Default

    Paul88 hat schon vor 2 Monaten darauf hingewiesen, dass 64/4 = 16 ergibt und nicht wie im Video = 8. Wann wird das denn endlich geändert?

    Von Mosswerner, vor fast 3 Jahren
  5. Msndollzu 1225517676

    Sehr gut erklärt, aber wieso sind es 8cm/Woche? 64/4 ist bei mir immer noch 16cm/Woche... Oder liegt bei mir ein Denkfehler vor?

    Von Paul88, vor etwa 3 Jahren
  1. Default

    Wunderbar anschaulich und klar erklärt. Vielen Dank.

    Von Elisabeth 1, vor mehr als 3 Jahren
Mehr Kommentare