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Transkript Differentialquotient (1)

Hallo! Es geht um den Differentialquotienten. Der Differentialquotient ist unter anderem dafür da, Steigungen zu bestimmen an solchen krummlinigen Funktionen. Was könnte hier in einem Punkt die Steigung sein? Dazu mal ich Mal einen Punkt hier an. Was würden wir rein optisch jetzt, sag ich Mal, unter der Steigung in diesem Punkt verstehen?  Na ja, wir könnten hier eine Tangente dranlegen. Eine Tangente ist eine Gerade, die diese Funktion in einem einzigen Punkt berührt. Das ist hier also der rote Punkt, da berührt diese Tangente, diese Funktion. Und die Steigung dieser Tangente, das müsste doch die Steigung sein, die diese Funktion in diesem Punkt hat. Jetzt ist es aber nicht so einfach, diese Steigung exakt auszurechnen. Ich kann zwar diese Tangente hier hinlegen, weiß dann aber nicht ganz genau, wie groß die Steigung ist. Und na ja, dieser Film würde nicht existieren, wenn es da nicht eine Methode gebe, wie man diese Steigung ausrechnen kann.

Und dazu rechnet man also nicht als Erstes die Steigung der Tangente aus, sondern man bildet sich eine Sekante. Eine Sekante ist eine Gerade, die diese Funktion hier in zwei Punkten schneidet. Da kannst du das sehen. Der erste Punkt ist hier, leg ich fest, dass das der erste sein soll. Da ist der zweite Punkt. Die Gerade schneidet die Funktion in zwei Punkten, deshalb ist es eine Sekante. Und du kannst also, wie üblich, die Steigung dieser Geraden ausrechnen, und zwar indem du das Steigungsdreieck machst oder den Differenzenquotienten. Der Differenzenquotient ist noch nicht der Differentialquotient, aber er ist ein bisschen ähnlich. So, hier ist das Steigungsdreieck oder ein Steigungsdreieck dieser Sekante. Und die Steigung der Sekante ist also diese Strecke geteilt durch diese Strecke, also die Differenz der beiden y-Werte. Wenn die Funktion hier Werte entwickelt, dann ist der y-Wert an der Stelle so groß, der y-Wert an der Stelle ist so groß, und wenn man die beiden voneinander abzieht, kriegt man hier die Diefferenz der beiden y-Werte. Man kann die beiden x-Werte auch voneinander abziehen. Man bekommt die Differenz der beiden x-Werte. y-Differenz geteilt durch x-Differenz ist die Steigung der Sekante. Was habe ich jetzt erreicht? Ich habe eine Steigung exakt ausrechnen können, die irgendwo in der Nähe liegt von dieser Tangentensteigung. Wenn der zweite Punkt, also der Punkt hier, nun näherrückt an diesen ersten Punkt, dann bekomme ich ein neues Steigungsdreieck, was ich jetzt Mal so hier einmalen möchte. Diese Sekantensteigung ist jetzt der Tangentensteigung etwas ähnlicher geworden. Hier muss ich jetzt wieder rechnen y-Differenz, das ist jetzt diese hier, geteilt durch x-Differenz, das ist diese. Das ist die Sekantensteigung. Na, und du kannst dir vielleicht vorstellen, wie das weitergeht. Wenn jetzt dieser zweite Punkt noch näher hier ranrückt, bekommt man ein neues Steigungsdreieck. Das ist dieses hier und die Sekantensteigung wird also immer ähnlicher der Tangentensteigung in diesem roten Punkt. So sieht das dann ungefähr aus. Wenn man jetzt also jeweils diesen Punkt hier immer weiter an diesen rot markierten Punkt herangehen lässt, dann bekommst du also Differenzenquotienten. Diese Diefferenzquotienten werden immer größer, weil die Steigung von hier bis hier immer größer wird. Und der Grenzwert dieser Differenzenquotienten, das ist der Differentialquotient. Der Grenzwert dieser Differenzenquotienten, die ja steigend sind. Die Differenzenquotienten werden immer größer und die kleinste Zahl, die man durch diese größer werdenden Differenzenquotienten nicht erreichen kann, das ist der Grenzwert. Das ist der Differenetialquotient. Wie also in den vorherigen Filmen auch schon, ist der Grenzwert von einer steigenden Folge von Zahlen, die kleinste Zahl, die dadurch nicht erreicht wird. Und um das ganz genau zu nehmen, müsste man jetzt sagen, das ist der linksseitige Grenzwert. Das ist der linksseitige Differentialquotient. Man kann das Ganze ja auch noch von der rechten Seite machen, und wie das von rechts geht, das zeige ich dann im nächsten Film. Bis dahin! Tschüss!

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3 Kommentare
  1. Default

    Anschaulich, selbstsicher und ruhig erklärt. Solche Lehrer braucht Deutschland! :)

    Von Princess Smile 1, vor etwa 2 Jahren
  2. Bild004

    Wieder ein wunderbares Video! Hilfreich, verstaendlich und mit Aha!-Effekt! Mehr Lehrer dieser Sorte braucht das Land...

    Von Schaefchenwolke888, vor mehr als 3 Jahren
  3. Default

    warum können das nicht alle mathelehrer so einfach erklären ? sehr schön gemacht!

    Von Utastein, vor fast 5 Jahren