Die Potenzgesetze

In diesem Video geht es um Potenzgesetze und wir wollen uns mal anschauen, wie man mit denen so rechnen kann. Kurz zur Erinnerung: So sieht eine Potenz aus. Dabei heißt die 2 Basis, die 3 Exponent und die 8 ist die Potenz. 
Kommen wir zum 1. Potenzgesetz. 2^3×2^5 heißt die 2 wird 3-mal und dann 5-mal mit sich selbst multipliziert, insgesamt also 8-mal. Wir brauchten also nur die 3 und die 5 addieren. Das 1. Potenzgesetz lautet also: a^m×a^n=a^m+n. Wir haben also 2 Potenzen mit gleicher Basis und verschiedenen Exponenten. 
Im 2. Potenzgesetz geht es um eine Division von Potenzen. 3^5/3^4, können wir auch als Bruch schreiben und dann die Potenz explizit hinschreiben, dann sehen wir, dass sich die 3 4-mal wegkürzt. Also bleibt nur 3^1 und die 1 hat sich berechnet, indem wir 5-4 gerechnet haben. Das entsprechende Gesetz heißt dann: a^m/a^n=a^m-n. Bei einem Quotienten aus Potenzen mit gleicher Basis werden also die Exponenten subtrahiert. 
So jetzt überlegen wir uns mal, was es heißt, wenn der Exponent negativ ist. Wir nehmen die 2 als Basis und schreiben in einer Tabelle die Potenzen zu den verschiedenen Exponenten auf. Man sieht, dass von einer Potenz zur nächsten immer mit 2 multipliziert wird. Laufen wir also an den Potenzen rückwärts, müssen wir immer durch 2 teilen. Demnach ist 2^0=1 und 2^-1=½. Diese Regel gilt auch allgemein. a^0=1 und a^-m=1/a^m. Überprüfen wir mal, ob dieses Gesetz auch mit den beiden anderen Gesetzen kompatibel ist. Hier erhalten wir durch Kürzen 2^3/2^4=½, also 1/2^1, also 2^-1. Und tatsächlich ist -1=3-4, so wie es nach der 2. Regeln sein musste. 
Hat man in dem Nenner einen negativen Exponenten, so formt man diesen als Bruch um, multipliziert mit dem Kehrwert und erhält so in diesem Beispiel 7×x^3. Der negative Exponent von unten wandert also als Positiver nach oben. Als Faustregel kann man sich merken, dass Potenzen mit negativen Exponenten auf die andere Seite des Bruchstrichs wandern und der Exponent dann positiv wird. Möchte man jedoch den Bruchstrich los werden, schreibt man alle Exponenten aus dem Nenner mit dem jeweils entgegengesetzten Vorzeichen nach oben. Das Ergebnis bleibt das gleiche. 
Im 3. Gesetz geht es um die Potenz eines Produkts. Das Produkt 2×5 wird 3-mal mit sich selber multipliziert. Dabei können wir die einzelnen Faktoren auch ordnen. Es entsteht 2^3×5^3. Allgemein haben wir (a×b)^m=a^m×b^m. Ein häufiger Fehler ist, dass man in dieser Potenz vergisst, die 3 mit zu quadrieren. Das richtige Ergebnis ist 3^2×x^2=9x^2. 
Als 4. Gesetz kommt die Potenz eines Bruchs. Schreiben wir das Quadrat von 5/7 als 5/7×5/7, nehmen wir Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner, erhalten wir 5^2/7^2. Das Gesetz lautet entsprechend (a/b)^m=a^m/b^m. 
Aber Potenzen können auch selber wieder potenziert werden. Nehmen wir die Potenz (3^2)^3 wird sie also 3-mal mit sich selber multipliziert, das heißt, wir haben 3 Zweierprodukte von 3, also 3×2 wird die 3 mit sich selber multipliziert, also 6-mal. Kommt also 3^6 raus. Die Formel lautet (a^m)^n=a^m×n.
Man kann auch Wurzeln als Potenzen schreiben. Die n-\sqrt(a)=a^1/n und die n\sqrt(a^m)=a^m/n. Nun noch ein paar Hinweise. Hat man die Potenz (2^3)^0, so ist das nicht die 0. Potenz von 2^3, sondern man muss zu erst den Exponenten 3^0 berechnen und dann 2 hoch Diesen nehmen. Kommt also 2^1 raus. 1^x ergibt immer 1, egal was x ist. 0^x ergibt immer 0, außer wenn x 0 ist. 0^0 ist 1, darauf haben sich die Mathematiker nach langem Streit geeinigt.
So zum Schluss möchte ich noch mal eine große Aufgabe vorrechnen. Und zwar möchte ich diesen Bruch so vereinfachen, dass es einfach nur ein Produkt ist aus Potenzen, ohne Wurzeln und ohne Brüche. Zu erst kürzen wir mal das a und schreiben die Wurzeln als Potenzen. Da kriegen wir also 1/x^¼ und 1/x^½. Jetzt schaffen wir die kleinen Brüche weg, indem wir die mit negativen Exponenten schreiben. Also x^-¼, x^-½ und z^-1. Jetzt wenden wir an: Regel 3, Potenz eines Produkts und Regel 5, Potenz einer Potenz. Da ergibt sich 49x^2 und y^24/4, das heißt, y^6. Jetzt schreiben wir alles, was unten steht, nach oben, indem wir jeweils den Exponenten mit dem anderen Vorzeichen versehen. Dabei ordnen wir schon mal gleiche Basen zueinander. Jetzt kommt Regel 1 zum Zug, Produkt von Potenzen mit gleicher Basis, und da addieren wir die Exponenten: -¼, 2 und ½ und das ergibt zusammen 9/4. Und das Ergebnis sieht ja auch schon viel besser aus, als am Anfang. Das war es!