Die Grenzwertsätze

In diesem Video erkläre ich euch die Grenzwertsätze für Funktionen.
Die folgenden 3 Grenzwerte sollten wir dazu schon kennen:
Der Grenzwert x gegen ∞ von der konstanten Funktion k=k.
Der Grenzwert x gegen ∞ von x = ∞.
Und der Grenzwert von 1/x gegen ∞ = 0.
Zu jeder Rechenart gibt es nun einen Grenzwertsatz. Hier ist der für die Summe zweier Funktionen. Existiert der Grenzwert von f(x) und g(x) für x gegen x0, so gilt: Der Grenzwert der Summe für x gegen x0 ist gleich der Summe für Grenzwerte für x gegen x0.
Dass der Grenzwert der Funktion existiert, soll dabei bedeuten, dass das eine Zahl ist und nicht ∞. Lässt man x nicht gegen eine Stelle, sondern gegen ∞ laufen, gilt der Satz genauso.
Das ist zwar ganz schön, aber leider hat man trotzdem häufig Summen in denen einige Funktionen gegen ∞ streben. Damit man den Satz dann aber trotzdem anwenden kann, merkt man sich einfach diese folgenden Regeln. Unenedlich + eine endliche Zahl ist Unendlich, also: ∞+α=∞. Undendlich + Unendlich ist natürlich erst recht Unendlich, also: ∞+∞ ist natürlich erst recht ∞.
Nur bei ∞ +(-∞) und -∞+∞ da kann man den Satz nicht anwenden. Da braucht man dann andere Mittel, um herauszubekommen, was der Grenzwert ist.
Unser 1. Beispiel ist Limes für x gegen 3 von x+1/x, da trennen wir die Grenzwerte also einfach auf und können dann 3 jeweils einsetzen. Das ergibt 10/3. Nimmt man die gleiche Funktion und lässt x gegen ∞ streben, dann entsteht auf der linken Seite ∞ und auf der rechten 0. Und das addiert - in Anführungszeichen - ergibt ∞.
 
Kommen wir jetzt zur Differenz:
Existieren die Grenzwerte von f und g für x gegen x0, so gilt: Der Grenzwert der Differenz für x gegen x0 ist gleich der Differenz der Grenzwerte für x gegen x0. Und Gleiches gilt auch wieder für x gegen ∞. Und auch hier kommt man häufig viel weiter, wenn man sich noch folgendes merkt:
-∞-∞ ist natürlich wieder -∞. Wenn ich von ∞ eine endliche Zahl (a) abziehe, erhalte ich immer noch ∞. Wenn ich von einer Zahl (α) unendlich viel abziehe erhalte ich -∞ und der einzige Fall, den dieser Satz nicht abdeckt, ist der Fall ∞-∞.
Damit ist also der Grenzwert von x-3 gleich dem Grenzwert von x - dem Grenzwert von 3, links setz ich das x ein, rechts bleibt die Konstante, also kommt -1 raus.
Der Limes von 4-x für x gegen ∞ wird auch wieder aufgeteilt, links ist eine konstante Funktion und rechts kommt Unendlich raus. Und wenn wir ∞ von 4 - in Anführungszeichen - abziehen, kommt -∞ raus.
 
Beim Produkt zweier Funktionen sieht der Grenzwertsatz wieder genauso aus. Existieren die beiden Grenzwerte, so gilt: Der Grenzwert des Produkts ist gleich dem Produkt der Grenzwerte. Und für x gegen ∞ gilt wieder das Gleiche. Und sollte der Grenzwert mal nicht existieren, kann man sich trotzdem noch mit diesen Tipps helfen:
Eine feste Zahl mal Unendlich, α×∞, also ein Vielfaches von ∞ ist wieder ∞.
∞×∞ natürlich erst recht, hier muss man nur mit den Vorzeichen aufpassen, -×+ gibt z.B. - und -×- gibt natürlich +. Der einzige Ausnahmefall für den Satz ist hier ∞×0.
Der Limes des Produkts 2/7×7-1/x für x gegen ∞, ist also der Limes von 2/7× den Limes der Klammer. Die 2/7 bleiben stehen und rechts wenden wir noch die Differenzenregel an, da kommt auf der linken Seite wieder eine Konstante und der Limes von 1/x=0. Also entsteht 2/7×7 also 2.
Bei dieser Funktion wenden wir zuerst den Summensatz an und dann den Produktsatz auf die Potenzen. Man sieht hier dass x-Potenzen für x gegen ∞ auch auf jeden Fall gegen ∞ gehen. Am Schluss ergibt sich bei uns wieder ∞.
 
Beim Satz über den Grenzwert eines Quotienten wird zusätzlich zur Existenz der Grenzwerte noch verlangt, dass der Grenzwert im Nenner nicht 0 ist, denn durch den wird ja geteilt und dann gilt, dass der Grenzwert des Quotienten gleich dem Quotienten der Grenzwerte ist. Und das Gleiche auch wieder für x gegen ∞.
Und jetzt greifen wir noch ein letztes Mal in die Trickkiste, falls einer der Grenzwerte nicht existiert.
∞ geteilt durch eine Zahl ist ∞ und eine Zahl geteilt durch ∞ ist 0.
Über die Fälle ∞ geteilt durch ∞ und 0 durch 0 lässt sich mit diesem Satz nichts aussagen.
Der Limes von 2÷x für x gegen 5 berechnet sich demnach so und unten kann man für das x die 5 einfach einsetzen. Bei dieser Funktion teilt man also den Grenzwert des Zählers durch den Grenzwert des Nenners. Im Nenner haben wir eine Differenz, die teilen wir wieder auf und davon der Subtrahend hat dann die Gestalt 1/x, also 0 und das ergibt dann 1/3.
 
Was haben wir also gelernt? Potenzen von x gehen gegen ∞ für x gegen ∞. Vierfache uns  Summen solcher Potenzen auch und die Therme 1/x, 1/x^2, usw. gehen alle gegen 0 für x gegen ∞.
Ist doch eigentlich alles nicht so schwer.