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Transkript Determinanten und Parallelogrammflächen

Hallo. Das hier ist eine Art Suchbild und da steckt eine Determinante drin. Was eine Determinante ist, erkläre ich dir jetzt. Zunächst einmal siehst du das Parallelogramm A, B, C, D. Es wird festgelegt durch AB und AD. AB kann man auch so schreiben und AD kann man auch so schreiben. Die Strecken ax und ay sind hier, die Strecken bx und by sind hier. Diese Strecken sind mehrmals zu sehen. ax ist hier noch mal, da die Strecken AB und DC parallel zueinander sind und gleich lang sind. ay findest du hier wieder, weil das hier ein Rechteck ist und ay findest du hier auch wieder, weil AB und DC parallel und gleich lang sind. Und hier ist noch mal ay, weil das hier ein Rechteck ist. Mit einer ähnlichen Begründung sind die Strecken bx und by auch mehrmals zu sehen.Und hier ist noch mal ay, weil das hier ein Rechteck ist. Eine Seite des großen Rechtecks ist ax + bx. Die andere Seite ist ay + by. Wenn wir beide Seitenlängen multiplizieren, so wie hier, erhalten wir die Fläche des großen Rechtecks. Die Flächen dieses Dreiecks müssen wir abziehen. Es hat die Fläche 1/2 × ax × ay. Es kommt zweimal vor  und deshalb wird hier die Fläche zweimal abgezogen. Mit diesem Dreieck verhält es sich genauso. Es hat die Fläche 1/2 × bx × by. Es kommt zweimal vor und wird auch zweimal abgezogen. Dann fehlen noch die beiden Rechtecke. Die werden hier abgezogen. FE steht für Flächeneinheiten. Diesen Term können wir umformen. Die beiden Klammern ausmultiplizieren und 2 × 1/2 weglassen. Ergibt diesen Term. Das zusammen ergibt 0. Das zusammen ergibt auch 0. Und 2 mal das hier subtrahiert Plus einmal dem hier addiert ergibt einmal subtrahiert. Wir erhalten für die Parallelogrammfläche nun einen recht einfachen Term. Nämlich diesen hier. Und jetzt kommt es. Für diesen Term gibt es eine andere Schreibweise mit einem besonderen Namen. Hier ist die Schreibweise und sie heißt: zweireihige Determinante. Zweireihig steht hier deshalb, weil Determinanten auch mehr Reihen haben können. Eine Determinante ist also nichts anderes als ein Term, der auf eine besondere Art hingeschrieben wird. Wenn wir für die Variablen Zahlen einsetzen, d. h. wenn wir bestimmte Pfeile AB und AD mit bestimmten Zahlen ax und ay, bx und by haben, liefert die Determinante den Flächeninhalt des Parallelogramms. So gesehen ist in dieser Zeichnung hier, hier die Determinante versteckt. Wichtig ist dabei, beide Pfeile müssen denselben Fußpunkt haben und in der ersten Spalte der Determinante muss der Pfeil stehen, der die Fläche des Parallelogramms überstreicht, wenn man ihn entgegengesetzt des Uhrzeigersinns dreht. Macht man es anders, kann man zwar auch das Ergebnis der Determinante bestimmen, es ist dann aber nicht der Flächeninhalt des Parallelogramms.

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2 Kommentare
  1. Img 5863

    Leider sehr unübersichtlich :(

    Von Brilli, vor 11 Monaten
  2. Default

    Die beiden ersten Fragen zur Aufgabe sind dieselben, sodass eigentlich alle 3 geltenmüssen.

    Von Nico Momen, vor mehr als 5 Jahren