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Transkript Determinanten – Lineare Gleichungssysteme lösen (1)

Die Cramer'sche Regel zur Lösung von linearen Gleichungssystemen. Die Voraussetzungen zur Anwendung der Cramer'schen Regel sind: 1. Das Vorliegen eines quadratischen linearen Gleichungssystems, das heißt, genau so viele Gleichungen wie Unbekannte, außerdem braucht man 2. ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit regulärer Koeffizientenmatrix, das heißt, die Determinante von A darf nicht 0 sein. Ein inhomogenes lineares Gleichungssystem liegt dann vor, wenn die rechte Seite nicht der Nullvektor ist. Zur Theorie: Der eigentliche Trick bei der Anwendung der Cramer'schen Regel ist es, dass man direkt nach den Variablen x1, x2 etc. auflösen kann. Das funktioniert, indem man in den Zähler die Determinante der abgewandelten Koeffizientenmatrix einsetzt, wobei abgewandelt bedeutet, dass zur Berechnung von xk die k-te Spalte durch die rechte Seite ersetzt wird. Im Nenner wird die Determinante der Koeffizientenmatrix eingesetzt. Allgemein kann gesagt werden, dass sich xk aus dem Quotienten der Determinante der abgewandelten Matrix Ak und der Determinante der Koeffizientenmatrix ergibt, mit der Determinante ungleich 0. Dazu nun ein Zahlenbeispiel: Gleichung 1: 1x1+2x2=3 Gleichung 2: 4x1+5x2=6 x1 berechnet sich folgendermaßen: Im Nenner bleibt die Determinante A bestehen. Im Zähler wird die 1. Spalte durch die rechte Seite der Gleichung ersetzt. Dadurch kommen wir auf -1. Und x2 berechnet sich folgendermaßen: Wieder bleibt im Nenner die Koeffizientenmatrix bestehen und im Zähler wird diesmal die 2. Spalte durch die rechte Seite ersetzt, dadurch kommen wir auf das Ergebnis 2. Somit haben wir einen Lösungsvektor x* (-1, 2). Die Cramer'sche Regel ist natürlich auch anwendbar für 3 Kreuz 3 oder sogar größere Systeme.

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1 Kommentar
  1. Default

    Danke, du hast mir richtig geholfen! Nun hab ich's!!!

    Von Green Spirit, vor mehr als 3 Jahren