Kreis – Definition, Begriffe und Konstruktion
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Grundlagen zum Thema Kreis – Definition, Begriffe und Konstruktion
Kreis – Definition
Die mathematische Definition eines Kreises lautet:
Die Menge aller Punkte P einer Ebene, die von einem gegebenen Punkt M denselben Abstand r haben, heißt Kreis, mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r.
Das klingt vielleicht kompliziert, ist es aber gar nicht. Du kannst dir das so vorstellen: Du zeichnest einen Punkt $M$ auf ein weißes Blatt Papier. Anschließend zeichnest du Punkte auf das Blatt, die alle einen Abstand von $r = \pu{10cm}$ zu diesem Punkt $M$ haben. Nachdem du einige Punkte gezeichnet hast, siehst du schon, dass sich ein Kreis andeutet. Weil in der Definition alle Punkte steht, müsstest du unendlich viele dieser Punkte zeichnen. Dann kann man aber die einzelnen Punkte gar nicht mehr voneinander unterscheiden, und es ergibt sich eine Linie.
Diese Linie ist der Kreis mit dem Radius $r$. Der Kreis ist in der Mathematik nur diese Linie, manchmal sagt man deswegen auch Kreislinie. Die Fläche heißt Kreisfläche. Umgangssprachlich werden diese Begriffe manchmal verwechselt. Die Länge der Kreislinie heißt Umfang des Kreises.
In der Abbildung siehst du einen Kreis mit dem Radius $r = \pu{10cm}$ und die Bedeutung von Kreisfläche und Kreislinie.
Kreis – Begriffe
Die Kreislinie kann von Strecken und Geraden geschnitten werden. Dabei wird unterschieden, ob es einen oder mehrere Schnittpunkte mit dem Kreis gibt.
Zwei Schnittpunkte
Als Sehne bezeichnet man eine Strecke, die innerhalb des Kreises liegt und genau zwei Schnittpunkte mit dem Kreis hat, die zugleich die Endpunkte der Strecke sind. Geht die Sehne gleichzeitig durch den Mittelpunkt, heißt sie Durchmesser des Kreises und ist zweimal so lang wie der Radius.
Eine Gerade, die den Kreis zweimal schneidet, heißt Sekante.
Ein Schnittpunkt
Die Strecke, die vom Mittelpunkt bis zu einem Punkt auf dem Kreis läuft und genau einen Schnittpunkt hat, heißt Radius des Kreises.
Eine Gerade, die den Kreis an einem Punkt berührt, heißt Tangente.
Kein Schnittpunkt
Eine Gerade, die neben dem Kreis läuft, ohne ihn zu berühren, heißt Passante.
In der folgenden Abbildung siehst du Beispiele aller genannten Arten von Strecken und Geraden im Zusammenhang mit einem Kreis:
Kreis – Radius
Wie schon angeschnitten, bezeichnet der Radius eines Kreises den Abstand des Mittelpunktes zu einem beliebigen Punkt auf der Kreislinie.
Aus dem Radius $r$ lässt sich auch der Durchmesser $d$ ableiten. Dieser ist eine Sekante, die durch den Mittelpunkt des Kreises verläuft. Es gilt, dass der Durchmesser doppelt so lang ist wie der Radius.
$d = 2 \cdot r \quad$ oder
$r = \frac{1}{2} \cdot d$
Kreis berechnen
Wenn der Radius oder der Durchmesser bekannt sind, können noch weitere Größen des Kreises berechnet werden. Das sehen wir uns im Folgenden an.
Kreis – Umfang
Der Kreisumfang entspricht der Länge der kompletten Kreislinie.
Zur Berechnung kann sowohl der Radius als auch der Durchmesser verwendet werden.
Der Umfang $U_{\circ}$ eines Kreises wird folgendermaßen berechnet:
$U_{\circ} = 2 \cdot \pi \cdot r \quad$ oder
$U_{\circ}= \pi \cdot d$
Kreis – Fläche
Der Flächeninhalt, der durch die Kreislinie eingeschlossen wird, wird auch Kreisfläche genannt. Auch hierfür gibt es zwei mögliche Formeln.
Die Kreisfläche $A_\circ$ wird folgendermaßen berechnet:
$A_{\circ} = \pi \cdot r^{2} \quad$ oder
$A_{\circ} = \frac{1}{4} \cdot \pi \cdot d^{2}$
Kreis – Konstruktion
Wenn du einen Kreis konstruieren willst, musst du einen Weg finden, eine Linie mit einem festen Abstand zu einem Mittelpunkt zu zeichnen. Die einfachste Variante ist das Zeichnen mit dem Zirkel.
- Stelle die Zirkelspanne mit Hilfe eines Lineals auf den gewünschten Radius ein.
- Setze die Zirkelspitze am Mittelpunkt an. Dieser dient als Drehzentrum.
- Ziehe die Kreislinie.
Wenn du aber keinen Zirkel zur Hand hast, oder ein Zirkel unpraktisch wäre (zum Beispiel bei sehr großen Kreisen), kannst du auch ein Stück Schnur an einen Stift binden. Dann musst du nur das lose Schnurende am gewünschten Mittelpunkt fixieren, und kannst mit dem gespannten Stück Schnur einen Kreis um diesen Punkt zeichnen.
Kreis – Zusammenfassung
- Der Kreis ist eine geometrische Figur ohne Ecken und Kanten. Jeder Punkt der Kreislinie hat den gleichen Abstand zum Mittelpunkt des Kreises.
- Jeder Kreis hat einen Radius $r$. Das ist der Abstand des Mittelpunktes zu jedem beliebigen Punkt auf der Kreislinie.
- Der Durchmesser $d$ eines Kreises ist doppelt so groß wie der Radius:
$d = 2 \cdot r$ bzw. $r = \frac{1}{2} \cdot d$ - Der Kreisumfang wird berechnet mit $U_{\circ} = 2 \cdot \pi \cdot r = \pi \cdot d$.
- Die Formel für die Kreisfläche lautet $A_{\circ} = \pi \cdot r^{2} = \frac{1}{4} \cdot \pi \cdot d^{2}$.
Häufig gestellte Fragen zum Thema Kreis
Transkript Kreis – Definition, Begriffe und Konstruktion
Lana fährt mit dem Kunstkurs nach Ringhain.
Hier gibt es auf den Straßen viele Kunstwerke zu entdecken. Ihre Aufgabe ist es, all ihre Eindrücke in ihrer Kunstmappe festzuhalten.
Zuerst steht die Besichtigung der berühmten Skulptur „Hypnos“ an.
Wow, die ist ja riesig!
Man munkelt, dass Menschen den ganzen Tag davor verbringen können.
Aber das kommt natürlich nicht in Frage, der Zeitplan ist straff!
Lana stellt fest, dass die Skulptur nur aus Kreisen besteht.
Aber was sind Kreise denn genau?
„Schauen wir uns das Thema Kreis doch mal genauer an.“
Beginnen wir mit der Definition.
Die Menge aller Punkte P in einer Ebene, die von einem gegebenen Punkt M denselben Abstand r haben, heißt Kreis.
Dabei ist M der Mittelpunkt und r der Radius.
Das klingt vielleicht kompliziert, ist es aber gar nicht.
Wir können uns das so vorstellen.
Wir zeichnen einen Punkt M auf ein Blatt Papier.
Anschließend zeichnen wir Punkte, die zu M einen Abstand von r haben.
Wenn wir nun weitere Punkte zeichnen, deutet sich immer mehr ein Kreis an.
Da wir in der Definition von allen Punkten sprechen, könnten wir unendlich viele dieser Punkte zeichnen.
Jedoch würden wir irgendwann die einzelnen Punkte gar nicht mehr voneinander unterscheiden können und es entsteht eine Linie.
Und diese Linie, auch „Kreislinie“ genannt, entspricht in der Mathematik dem „Kreis“ mit Mittelpunkt M und Radius r.
Manchmal wird der Begriff Kreis auch mit der „Kreisfläche“, also der Fläche innerhalb der Kreislinie, verwechselt.
Das ist jedoch nicht richtig.
Und die Länge der Kreislinie diese nennen wir „Umfang“.
Jetzt fehlen nur noch zwei Begriffe.
Betrachten wir nicht die ganze Kreislinie, sondern nur einen Abschnitt, wie zum Beispiel hier, nennen wir diese Linie einen „Kreisbogen“.
Dieser wird mit b bezeichnet.
Die zugehörige Fläche, die von dem Kreisbogen und zwei Radien begrenzt wird, heißt „Kreisausschnitt“ oder „Kreissektor“.
Jetzt haben wir alle wichtigen Begriffe rund um den Kreis beisammen.
Aber wie konstruieren wir denn überhaupt Kreise?
Die einfachste Methode ist das Zeichnen mit einem Zirkel.
Dabei zeichnen wir einen Kreis mit einem gegebenen Mittelpunkt M, indem wir den gewünschten Radius r, zum Beispiel acht Zentimeter, in die Zirkelspanne nehmen und einen Kreisbogen um M zeichnen.
Wenn du gerade keinen Zirkel zur Hand hast oder sehr große Kreise zeichnen möchtest, gibt es noch eine andere Möglichkeit!
Und zwar mit einem Stück Schnur, gebunden an einen Stift.
Dann musst du nur das andere Ende an einem gewählten Punkt fixieren und kannst mit dem gespannten Stück Schnur einen Kreis um diesen Punkt zeichnen.
Ob die Kreise in der Skulptur so entstanden sind?
Abschließend schauen wir uns noch an, welche Geraden und Strecken wir am Kreis zeichnen können.
Wir ordnen diese nach der Anzahl der Schnittpunkte mit dem Kreis.
Insgesamt gibt es drei mögliche Fälle: zwei Schnittpunkte, ein Schnittpunkt und kein Schnittpunkt.
Beginnen wir mit einer Strecke, die den Kreis in zwei Punkten schneidet.
Eine solche Strecke heißt „Sehne“.
Sie liegt innerhalb des Kreises und hat zwei Schnittpunkte, die zugleich die Endpunkte der Strecke sind.
Eine besondere Sehne, welche auch die längste ist, ist der „Durchmesser“.
Dieser geht durch den Mittelpunkt und ist somit doppelt so lang wie der Radius.
Eine Gerade, die den Kreis zweimal schneidet, wird „Sekante“ genannt.
Der Name wird abgeleitet von dem lateinischen Wort „secare“, was „schneiden“ bedeutet.
Der „Radius“ ist eine Strecke, die den Kreis nur einmal schneidet.
Er verläuft stets vom Mittelpunkt zum Kreis.
Eine Gerade, die den Kreis an einem Punkt berührt, heißt „Tangente“.
Der Begriff stammt aus dem Lateinischen und bedeutet „berühren“.
Kommen wir nun zur dritten Zeile keine Schnittpunkte.
Da gibt es nur eine Gerade, die „Passante“, die an dem Kreis vorbei läuft und ihn in keinem Punkt berührt.
„Passante“ leitet sich von dem französischen Wort „passer“ ab und bedeutet „vorbeigehen“.
So und nun kennen wir uns mit Kreisen bestens aus.
Was sich Lana wohl zu der Skulptur mit den Kreisen notiert hat?
Fassen wir zuerst alles nochmal zusammen.
Die Menge aller Punkte P in einer Ebene, die von einem gegebenen Punkt M denselben Abstand r haben, heißt Kreis.
Dabei ist M der Mittelpunkt und r der Radius.
Der Kreis bezeichnet also die „Kreislinie“.
Sie ist nicht zu verwechseln mit der „Kreisfläche“, also der Fläche, die von der Kreislinie eingeschlossen wird.
Und die Länge der Kreislinie diese nennen wir „Umfang“.
Betrachten wir nicht die ganze Kreislinie, sondern nur einen Abschnitt, nennen wir diese Linie einen „Kreisbogen“.
Die zugehörige Fläche heißt „Kreisausschnitt“ oder „Kreissektor“.
Wir können Kreise mit einem Zirkel oder auch mit Hilfe einer Schnur, gebunden an einen Stift, konstruieren.
Zudem haben wir nun verschiedene Strecken, wie Sehne, Durchmesser und Radius, sowie die Geraden Sekante, Tangente und Passante geordnet nach der Anzahl der Schnittpunkte mit dem Kreis kennengelernt.
Welches Kunstwerk sich Lana wohl jetzt gerade anschaut?
Nanu?! Sie steht ja immer noch vor der ersten Skulptur. Die Drehung der Kreise hat sie wohl hypnotisiert.
Na hoffentlich schalten die Künstler bald den Strom ab.
Kreis – Definition, Begriffe und Konstruktion Übung
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Benenne die Begriffe des Kreises.
TippsDen Begriff „Kreisgerade“ gibt es nicht.
Die Begriffe „Höhe“ und „Umlauf“ gehören nicht zum Kreis.
LösungWir betrachten noch einmal die Definitionen der Begriffe und setzen entsprechend ein:
- Kreislinie: Menge aller Punkte der Ebene, die von einem festen Punkt $M$ der Ebene den gleichen Abstand r haben
- Umfang: Länge der Kreislinie
- Kreisfläche: von der Kreislinie eingeschlossene Fläche
- Mittelpunkt $M$: von diesem aus wird die Kreislinie gezeichnet
- Radius $r$: Abstand zwischen dem Mittelpunkt und der Kreislinie
- Durchmesser $d$: doppelter Radius, geht durch den Mittelpunkt
- Kreisbogen: Teilstrecke der Kreislinie
- Kreissektor: Teilfläche der Kreisfläche
-
Beschreibe wichtige Begriffe zum Kreis.
TippsKreislinie und Umfang stehen im Zusammenhang.
Radius und Durchmesser haben miteinander zu tun.
„Tangere“ bedeutet „berühren“.
„Passer“ ist französisch und bedeutet „vorbeigehen“.
LösungEin Kreis besteht aus einer Kreislinie, die eine Fläche umschließt. Man nennt sie Kreisfläche. Die Länge der Kreislinie ist der Umfang des Kreises.
Der Radius steht im Zusammenhang zum Durchmesser. Er ist exakt doppelt so lang wie dieser.
Wenn wir uns die Geraden am Kreis anschauen, unterscheiden wir zwischen Geraden mit einem, zwei oder keinem Schnittpunkt.
Diese Begriffe gehören zu folgenden Erklärungen:
$\begin{array}{l|l} \text{Begriff} & \text{Erklärung} \\ \hline \text{Umfang} & \text{Länge der Kreislinie} \\ \text{Durchmesser} & \text{doppelter Radius} \\ \text{Tangente} & \text{Gerade, die den Kreis in einem Punkt berührt} \\ \text{Sekante} & \text{Gerade, die den Kreis zweimal schneidet} \\ \text{Passante} & \text{Gerade, die den Kreis nicht schneidet oder berührt} \end{array}$
-
Entscheide, ob die Aussagen über eine Kreiskonstruktion richtig sind.
TippsDer Zirkel ist ein sehr einfaches Hilfsmittel, um einen Kreis zu zeichnen. Man muss ihn nur richtig einstellen und schon kann man einen Kreis anfertigen.
Der Durchmesser ist der doppelte Radius.
LösungIm Geometrieunterricht lernst du, wie man Kreise richtig zeichnet. Hierfür brauchst du einen Zirkel. Dieser kann kleinere Kreise zeichnen. Wenn aber Kunstschaffende für ihre Kunstwerke einen großen Kreis zeichnen möchten, benötigen sie ein anderes Hilfsmittel: Hier kann eine Schnur mit Faden hilfreich sein.
Folgende Aussagen sind richtig:
- Wenn du einen Kreis konstruieren willst, dann musst du einen Weg finden, eine Linie mit einem festen Abstand zum Mittelpunkt zu zeichnen.
- Für sehr große Kreise kannst du auch eine Schnur angebunden an einen Stift zur Hilfe nehmen. Du musst dafür die Schnur an einem Punkt fixieren.
Folgende Aussagen sind falsch:
- Mit dem Zirkel stellst du den Durchmesser ein und zeichnest damit den Kreis um den Mittelpunkt.
- Um einen Kreis zu erhalten, wird ein Kreissektor um den Mittelpunkt gezeichnet.
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Entscheide, welche Aussagen zu den Geraden am Kreis richtig sind.
Tipps„Tangere“ bedeutet „berühren“.
„Passer“ ist französisch und bedeutet „vorbeigehen“.
LösungAm Kreis unterscheidet man Strecken und Geraden. Diese werden ebenfalls noch einmal unterteilt nach ihrer Anzahl der Schnittpunkte.
Der Radius ist die Strecke vom Mittelpunkt zu einem beliebigen Punkt auf der Kreislinie. Der Radius schneidet den Kreis einmal.
Die Passante beschreibt eine Gerade, die den Kreis nicht schneidet oder berührt. Das Wort wird von dem französischen Verb „passer“ = „vorbeigehen“ abgeleitet. Die Passante hat also keine Schnittpunkte mit dem Kreis.
Die Tangente beschreibt eine Gerade, die den Kreis genau einmal schneidet bzw. berührt. Das Wort wird von dem lateinischen Verb „tangere“ = „berühren“ abgeleitet. Die Tangente hat also nur einen Schnittpunkt mit dem Kreis.
Die Sekante beschreibt eine Gerade, die den Kreis genau zweimal schneidet. Das Wort wird von dem lateinischen Verb „secare“ = „schneiden“ abgeleitet. Die Sekante hat also zwei Schnittpunkte mit dem Kreis.
Folgende Aussagen sind richtig:
- Die hellblaue und die dunkelblaue Gerade sind Tangenten.
- Die dunkelgrüne und die gelbe Gerade sind Passanten.
- Die hellgrüne und die lila Gerade sind Sekanten.
Folgende Aussagen sind falsch:
- Die gelbe und die hellgrüne Gerade sind Passanten.
- Die hellgrüne und die hellblaue Gerade sind Sekanten.
- Der Radius ist eine Sekante.
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Gib die Definition eines Kreises an.
TippsHier wurde ein Mittelpunkt $M$ markiert und immer im Abstand von ${3}~\text{cm}$ ein Punkt gesetzt. Irgendwann ensteht eine Kreislinie, auch Kreis mit Radius $r$ genannt.
Der Abstand des Mittelpunktes $M$ zum Radius $r$ ist immer gleich.
LösungKreise kommen in vielen Kunstwerken vor. Aus ihnen können eindrucksvolle Muster entstehen.
Ein Kreis hat immer einen Mittelpunkt $M$ und einen Radius $r$.
Die Menge aller Punkte $P$ in einer Ebene $E$, die von einem gegebenen Punkt $M$ denselben Abstand $r$ haben, heißt Kreis.
Man kann sich das so vorstellen, dass, wenn man einen Mittelpunkt $M$ markiert und immer im gleichen Abstand $r$ zu $M$ einen Punkt setzt, irgendwann ein Kreis entsteht.Der Radius ist der Abstand zwischen dem Mittelpunkt $M$ und der Kreislinie. Der Durchmesser ist der doppelte Radius.
Die Länge der Kreislinie nennt man Umfang.
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Bestimme alle Bilder, auf denen Kreissektoren dargestellt sind.
TippsÜberprüfe, ob die eingeschlossene Fläche von einem Kreisbogen und zwei Kreisradien eingeschlossen wird.
Eine Fläche zwischen einer Sekante und dem Kreisbogen nennt man Kreissegment.
LösungBei einem Kreissektor handelt es sich um eine Teilfläche der Kreisfläche. Diese wird von einem Kreisbogen (Teilstrecke der Kreislinie) und von zwei Kreisradien eingeschlossen und berührt somit den Mittelpunkt.
Durch eine Sekante, welche den Kreis zweimal schneidet und nicht durch den Mittelpunkt geht, entstehen zwei Teilflächen. Dabei handelt es sich nicht um Kreissektoren.
Folgende Bilder zeigen Kreissektoren:
Bild 1:
Der Kreissektor geht vom Mittelpunkt aus und wird von zwei Radien begrenzt, eine sehr kleine gelb markierte Fläche entsteht.Bild 3:
Der Kreissektor geht ebenfalls vom Mittelpunkt aus, wird von zwei Radien eingeschlossen und umschließt eine gelb markierte Fläche, welche fast ${\frac{3}{4}}$ der gesamten Kreisfläche darstellt.Bild 4:
Der Kreissektor geht auch vom Mittelpunkt aus, wird von zwei Radien eingeschlossen und die halbe Kreisfläche ist gelb markiert.Folgendes Bild zeigt keinen Kreissektor, sondern ein Kreissegment:
Bild 2:
Eine Sekante schneidet den Kreis zweimal und schließt eine Fläche ein, geht aber nicht durch den Mittelpunkt.
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