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Transkript Definition von Sinus, Cosinus und Tangens am Einheitskreis

Kreisfunktionen: Nehmen wir also den Einheitskreis mit dem Radius 1 und zeichnen dort ein Dreieck ein in den oberen rechten Quadranten. Dann haben wir: h, die Hypotenuse des Dreiecks, die dem Radius entspricht. x, den Winkel am Koordinatenursprung. Und a, die Ankathete des Dreiecks. Da die Hypotenuse des Dreiecks, h, immer =1 ist, hängt die Länge der Strecke a nur vom Winkel x ab. Die Länge von a am Einheitskreis entspricht also cos(x) und kann auch nur zwischen 1 und -1 variieren. Ähnlich verhält es sich mit dem Sinus, nur dass der Sinus die Gegenkathete symbolisiert. Wenn wir x jetzt einmal um 360 Grad laufen lassen, dann können wir gut sehen, was mit g und a bzw. Sinus und Cosinus passiert: Das Dreieck wandert durch alle 4 Quadranten und g und a nehmen alle Werte zwischen 1 und -1 an - und zwar abhängig vom Winkel x. Nun kann man den Winkel x auch anders ausdrücken: Denn der Umfang eines Kreises ist gleich 2×π×r, also am Einheitskreis 2×π. 2×π entspricht also 360 Grad und ½×π dementsprechend 90 Grad. Ist der Winkel x=0, dann sehen wir, dass der Cosinus - also die Strecke a - gleich 1 ist und der Sinus - also die Strecke g - gleich 0. Das sind also die Anfangswerte für Sinus und Cosinus. Nach 360 Grad bzw. 2×π kommen wir wieder bei unseren Startwerten an und genau das ist die Periodendauer. Wenn 2×π eine Kreisumdrehung ist, dann sind 4×π 2 Kreisumdrehungen und 8×π 4 Kreisumdrehungen usw. Deswegen ist der Definitionsbereich der Sinus- und Cosinusfunktion der Bereich der reellen Zahlen und der Wertebereich, also die y-Werte, sind begrenzt auf 1 und -1.

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2 Kommentare
  1. Default

    weil es sich bei dem Kreis um den Einheitkreis (r=1) handelt. Demnach: 2 * Pi * 1 = 2 * Pi

    Von Tim B., vor etwa 6 Jahren
  2. Default

    Hallo.

    Warum darf der Radius ausgelassen werden?

    Danke

    Gruß

    Eddy

    Von Eddy, vor etwa 7 Jahren