Definition Minimum (Tiefpunkt)

Hallo. Was sind Extrema, was sind Hochpunkte, was sind Tiefpunkte, was sind Minima, was sind Maxima? Das ist hier die Frage und hier steht die Definition eines Minimums. Ich lese das mal eben vor: f(x0) ist ein Minimum, wenn es eine Umgebung u(x0) gibt, sodass für alle x Element u(x0) gilt: f(x) größer gleich f(x0). So, dass hört sich jetzt vielleicht ein bisschen technisch an, aber man kann sich das ja mal vorstellen, wie das aussehen soll. Da brauchen wir ein freundliches Koordinatensystem. So ungefähr. Und da haben wir jetzt irgendeinen Funktionsgraphen drin, der zum Beispiel so verläuft hier, und da kann man wohl sehen, dass hier ein Minimum vorliegt, hier ungefähr. Also rein mal so vom intuitiven Verständnis. Minimum ist ja so ein kleinster Funktionswert.
So, wie kann man das jetzt beschreiben, diesen kleinsten Funktionswert? Es muss gelten, dass die anderen Funktionswerte, die da in der Nähe sind, größer sind, sie können auch gleich sein, also sie dürfen zumindest nicht kleiner sein als dieser Funktionswert hier, da wo das Minimum ist. Das ist ja das, was wir intuitiv unter einem Minimum verstehen. Das heißt, wir nehmen den x-Wert oder die Stelle auf der x-Achse, da wo sich dieses Minimum befindet und nennen das irgendwie, zum Beispiel x0. Das ist üblich, das x0 zu nennen, man hätte das auch x1 nennen können. Völlig egal, das hat sich halt so eingebürgert. Deshalb mache ich es auch so. Also, bei x0 ist der Funktionswert in diesem Fall am kleinsten. Er ist kleiner als die anderen Funktionswerte. Das bedeutet, dass es hier so eine Umgebung gibt, also ein Intervall, in dem sich x0 befindet, und alle anderen Funktionswerte hier sind größer, oder zumindest sind sie nicht kleiner als der Funktionswert an dieser Stelle. Naja, und das formuliert man dann eben so, wie das hier steht. Dann kann ich noch einzeichnen, wo f(x0) ist. Also, hier ist f(x0). Das ist ein bisschen klein geworden, das muss ich jetzt mal ein bisschen näher in die Kamera halten. Da ist f(x0).
Also, f(x0) ist ein Minimum, wenn es eine Umgebung u(x0) gibt, das ist diese Umgebung hier, sodass für alle x aus dieser Umgebung, das heißt, für das, für das, für das, für das, für alle x aus dieser Umgebung gilt, dass die Funktionswerte, also f(x) größer oder gleich der Funktionswerte f(x0) sind. Und hier sind sie alle tatsächlich größer und deshalb ist das hier ein Minimum.
Zu klären ist noch, was passiert, wenn die Funktion jetzt so verläuft, so, und hier konstant ist und dann vielleicht wieder nach oben geht. Die Frage ist jetzt: Ist dann hier auch ein Minimum? Dann nehmen wir wieder unser x0. Das bezeichne ich wieder so. Das kommt jetzt weg. Es sollen ja nicht mehrere x0, die sich unterscheiden, in einer Zeichnung stehen. Also ist das hier nach Definition auch ein Minimum. Nun, wir haben einen Funktionswert f(x0), der andere kommt jetzt auch weg. F(x0) ist hier und wir können um x0 uns eine Umgebung vorstellen, zum Beispiel die hier. Das ist ein Intervall in dem x0 drinnen liegt, also eine Umgebung, und wenn wir jetzt die Definition durchgehen haben wir also f(x0) ist ein Minimum, wenn es eine Umgebung u(x0) gibt, ja, die gibt es, sodass für alle x aus dieser Umgebung, also dieses und dieses und dieses hier, eben alle (da ist das Elementzeichen hier) gilt, dass f(x), zum Beispiel hier, größer oder gleich f(x0) ist. Dieser Funktionswert ist genauso groß wie f(x0). Dieser Funktionswert ist auch genauso groß. Dieser auch. Dieser auch. Die sind alle genauso groß wie f(x0), das heißt, es gilt also für alle x, die sich innerhalb dieses Intervalls befinden, dass f(x) gleich f(x0) ist und damit ist f(x0) ein Minimum. Es werden bestimmt viele Leute sagen: wieso? Ein Minimum ist es ja nicht? Die anderen Funktionswerte sind ja nicht größer. Ja, richtig. Deshalb unterscheidet man zwischen strengem Minimum und einfach nur Minimum. Wenn alle Funktionswerte in der Umgebung von x0 echt größer sind, dann ist es ein strenges Minimum an dieser Stelle. Wenn alle Funktionswerte in der Umgebung von x0 nicht kleiner sind, dann kann das auch so aussehen und dann ist es kein strenges Minimum, aber da alle anderen Funktionswerte, die sich in der Umgebung befinden, eben auch nicht kleiner sind, ist es ja in dem Sinne auch ein kleinster Funktionswert an dieser Stelle und deshalb sagt man, dass hier dann auch ein Minimum vorliegt. Ja, das war es zum Minimum, und Maximum funktioniert fast genauso. Viel Spaß damit. Tschüss!