„Vorher hatte ich kaum Lernschwierigkeiten, aber Kurvendiskussion war überhaupt nicht meins! Dank eurer Videos hab ichs dann endlich kapiert!”
sofatutor kann noch viel mehr:
sofatutor kann noch viel mehr:
Tausende leicht verständliche Lernvideos erklären auf sofatutor.com den Schul- und Unistoff. Mit sofatutor hast du jederzeit Zugriff auf über 8900 Videos in 21 Fächern und täglich kommen neue hinzu. Unsere Videos werden in Übereinstimmung mit den Lehrplänen der einzelnen Bundesländer entworfen und von unseren Tutoren gedreht.
Unsere Inhalte werden permanent auf hochwertige Didaktik und inhaltliche Richtigkeit geprüft. So geht ein Video durch 20 Hände bevor wir es freigeben! Der geschulte Blick von Professoren, Lehrern oder Doktoranden garantiert dir, dass du den Inhalten auf sofatutor.com jederzeit vollständig vertrauen kannst.
Du wirst bemerken, dass unsere Lernvideos nur ca. 10 Minuten lang sind. Durch die Kürze & Prägnanz wird deine Aufmerksamkeitsspanne optimal genutzt. So lernst du zügig genau das, was du brauchst und verbesserst deine Noten effektiv.
Nur sofatutor.com bietet dir diese Auswahl an Videos.
Probiere es am besten gleich aus!
Schreibe uns eine E-Mail an: support@sofatutor.com.
Ideale Prüfungsvorbereitung: Vertiefe dein Verständnis mit Tests nach jedem Video.
Es ist wissenschaftlich erwiesen: Sehen, hören und vor allem selber lösen ist die ideale Kombination, um Wissen zu vertiefen und dauerhaft zu behalten. Dazu dienen die Tests nach unseren Videos.
Dein Abitur, der Realschulabschluss oder die Mittlere Reife sind in greifbarer Nähe? Lass dich von sofatutor unterstützen, sodass du deinen Abschluss bald in der Tasche hast!
Wir haben unsere Nutzer befragt und sind stolz auf das Ergebnis: 87% bemerkten nachhaltig positive Effekte wie bessere Noten und tieferes Fachverständnis. Über 90% konnten sich eigenständig komplett neuen Stoff mit sofatutor aneignen.
Wir nutzen aktuelle didaktische Methoden, um die Tests zu erstellen. Mit sofatutor hast du jederzeit Zugriff auf über 13900 Tests!
Nur sofatutor.com bietet dir Tests nach jedem Video.
Probiere es am besten gleich aus!
Schreibe uns eine E-Mail an: support@sofatutor.com.
Im täglichen Fach-Chat bieten dir unsere Lehrer eine individuelle Sofort-Hilfe.
Um deine Fragen zu klären, kannst du dich täglich an uns wenden. Einer unserer Lehrer hört dir zu und hilft dir persönlich bei deinen fachlichen Problemen, beim Lernen oder den Hausaufgaben in den Fächern Mathematik, Deutsch, Englisch, Französisch, Biologie, Physik und Chemie.
Dieses Angebot gilt für Kunden des 6- und 12-Monats- sowie des Einzel-Nachhilfe-Abos. Der Fach-Chat ist täglich von Montag bis Freitag zwischen 17 und 19 Uhr erreichbar. Wo gibt es das schon? Du kannst jeden Tag der Woche einem kompetenten Nachhilfelehrer spontan deine Fragen stellen und qualifizierte Antworten erhalten.
Nur sofatutor.com bietet dir den täglichen Fach-Chat.
Probiere es am besten gleich aus!
Schreibe uns eine E-Mail an: support@sofatutor.com.
Die sofatutor-Nachhilfestunden bieten alle Vorteile traditioneller Nachhilfe – und noch einiges mehr: Einzelunterricht, qualifizierte Lehrer, aber keine Anfahrtswege. Denn bei uns findet Nachhilfe online statt. So arbeitest du bequem vom PC aus mit deinem persönlichen Lehrer an deinen Leistungen.
Durch die Integration der sofatutor-Lernvideos und -Tests in das Unterrichtskonzept stehen dir auch außerhalb der Nachhilfestunden jederzeit hochwertige Lerninhalte zum Weiterlernen und Üben zur Verfügung – ausgewählt von deinem Lehrer.Jürgen Möller ist Leiter der Einzel-Nachhilfe bei sofatutor.com. Durch seine jahrelange Erfahrung als Gymnasiallehrer und Lern-Coach an über 300 Schulen in Deutschland, steht er für ein vielfach erprobtes und stetig weiterentwickeltes Nachhilfekonzept.
030 - 515 88 22 20nachhilfe@sofatutor.com
Jetzt einen Termin für ein kostenloses Beratungsgespräch vereinbaren.
Schreibe uns eine E-Mail an: support@sofatutor.com.
Wenn du dich nicht genau verstanden hast, was eigentlich ein Minimum bei einer Funktion ist – oder vielleicht kennst du das Minimum auch unter dem Begriff Tiefpunkt -, dann werde ich dir das in den nächsten sieben Minuten kurz einmal erklären. Ich werde dir die mathematische Definition im Video ganz anschaulich mithilfe einer Grafik erklären. Die Definition besagt: f(x0) ist ein Minimum, wenn es eine Umgebung U(x0) gibt, so dass für alle x Element von U(x0) gilt: f(x) größer/ gleich f(x0). mehr »
Wenn du dich nicht genau verstanden hast, was eigentlich ein Minimum bei einer Funktion ist – oder vielleicht kennst du das Minimum auch unter dem Begriff Tiefpunkt -, dann werde ich dir das in den nächsten sieben Minuten kurz einmal erklären. Ich werde dir die mathematische Definition im Video ganz anschaulich mithilfe einer Grafik erklären. Die Definition besagt: f(x0) ist ein Minimum, wenn es eine Umgebung U(x0) gibt, so dass für alle x Element von U(x0) gilt: f(x) größer/ gleich f(x0).
Vorzeichenwechselkriterium
Definition Maximum (Hochpunkt)
Hallo. Was sind Extrema, was sind Hochpunkte, was sind Tiefpunkte, was sind Minima, was sind Maxima? Das ist hier die Frage und hier steht die Definition eines Minimums. Ich lese das mal eben vor: f(x0) ist ein Minimum, wenn es eine Umgebung u(x0) gibt, sodass für alle x Element u(x0) gilt: f(x) größer gleich f(x0). So, dass hört sich jetzt vielleicht ein bisschen technisch an, aber man kann sich das ja mal vorstellen, wie das aussehen soll. Da brauchen wir ein freundliches Koordinatensystem. So ungefähr. Und da haben wir jetzt irgendeinen Funktionsgraphen drin, der zum Beispiel so verläuft hier, und da kann man wohl sehen, dass hier ein Minimum vorliegt, hier ungefähr. Also rein mal so vom intuitiven Verständnis. Minimum ist ja so ein kleinster Funktionswert.
So, wie kann man das jetzt beschreiben, diesen kleinsten Funktionswert? Es muss gelten, dass die anderen Funktionswerte, die da in der Nähe sind, größer sind, sie können auch gleich sein, also sie dürfen zumindest nicht kleiner sein als dieser Funktionswert hier, da wo das Minimum ist. Das ist ja das, was wir intuitiv unter einem Minimum verstehen. Das heißt, wir nehmen den x-Wert oder die Stelle auf der x-Achse, da wo sich dieses Minimum befindet und nennen das irgendwie, zum Beispiel x0. Das ist üblich, das x0 zu nennen, man hätte das auch x1 nennen können. Völlig egal, das hat sich halt so eingebürgert. Deshalb mache ich es auch so. Also, bei x0 ist der Funktionswert in diesem Fall am kleinsten. Er ist kleiner als die anderen Funktionswerte. Das bedeutet, dass es hier so eine Umgebung gibt, also ein Intervall, in dem sich x0 befindet, und alle anderen Funktionswerte hier sind größer, oder zumindest sind sie nicht kleiner als der Funktionswert an dieser Stelle. Naja, und das formuliert man dann eben so, wie das hier steht. Dann kann ich noch einzeichnen, wo f(x0) ist. Also, hier ist f(x0). Das ist ein bisschen klein geworden, das muss ich jetzt mal ein bisschen näher in die Kamera halten. Da ist f(x0).
Also, f(x0) ist ein Minimum, wenn es eine Umgebung u(x0) gibt, das ist diese Umgebung hier, sodass für alle x aus dieser Umgebung, das heißt, für das, für das, für das, für das, für alle x aus dieser Umgebung gilt, dass die Funktionswerte, also f(x) größer oder gleich der Funktionswerte f(x0) sind. Und hier sind sie alle tatsächlich größer und deshalb ist das hier ein Minimum.
Zu klären ist noch, was passiert, wenn die Funktion jetzt so verläuft, so, und hier konstant ist und dann vielleicht wieder nach oben geht. Die Frage ist jetzt: Ist dann hier auch ein Minimum? Dann nehmen wir wieder unser x0. Das bezeichne ich wieder so. Das kommt jetzt weg. Es sollen ja nicht mehrere x0, die sich unterscheiden, in einer Zeichnung stehen. Also ist das hier nach Definition auch ein Minimum. Nun, wir haben einen Funktionswert f(x0), der andere kommt jetzt auch weg. F(x0) ist hier und wir können um x0 uns eine Umgebung vorstellen, zum Beispiel die hier. Das ist ein Intervall in dem x0 drinnen liegt, also eine Umgebung, und wenn wir jetzt die Definition durchgehen haben wir also f(x0) ist ein Minimum, wenn es eine Umgebung u(x0) gibt, ja, die gibt es, sodass für alle x aus dieser Umgebung, also dieses und dieses und dieses hier, eben alle (da ist das Elementzeichen hier) gilt, dass f(x), zum Beispiel hier, größer oder gleich f(x0) ist. Dieser Funktionswert ist genauso groß wie f(x0). Dieser Funktionswert ist auch genauso groß. Dieser auch. Dieser auch. Die sind alle genauso groß wie f(x0), das heißt, es gilt also für alle x, die sich innerhalb dieses Intervalls befinden, dass f(x) gleich f(x0) ist und damit ist f(x0) ein Minimum. Es werden bestimmt viele Leute sagen: wieso? Ein Minimum ist es ja nicht? Die anderen Funktionswerte sind ja nicht größer. Ja, richtig. Deshalb unterscheidet man zwischen strengem Minimum und einfach nur Minimum. Wenn alle Funktionswerte in der Umgebung von x0 echt größer sind, dann ist es ein strenges Minimum an dieser Stelle. Wenn alle Funktionswerte in der Umgebung von x0 nicht kleiner sind, dann kann das auch so aussehen und dann ist es kein strenges Minimum, aber da alle anderen Funktionswerte, die sich in der Umgebung befinden, eben auch nicht kleiner sind, ist es ja in dem Sinne auch ein kleinster Funktionswert an dieser Stelle und deshalb sagt man, dass hier dann auch ein Minimum vorliegt. Ja, das war es zum Minimum, und Maximum funktioniert fast genauso. Viel Spaß damit. Tschüss!
Definition Maximum (Hochpunkt)
Das notwendige Kriterium für Extrema - anschaulich und ausführlich
Bestimmen eines Maximums – Anwendungsbeispiel
Hinreichende Bedingung für Extrema mit zweiter Ableitung - Beispiel 2
Notwendige Bedingung für Maximum und Minimum (Hoch- und Tiefpunkt)
Hinreichende Bedingung mit zweiter Ableitung für Maximum und Minimum (Hoch- und Tiefpunkt)
Hinreichende Bedingung für Extrema mit zweiter Ableitung - Beispiel 1
Tausende leicht verständliche Lernvideos erklären auf sofatutor.com den Schul- und Unistoff. Mit sofatutor hast du jederzeit Zugriff auf über 8900 Videos in 21 Fächern und täglich kommen neue hinzu. Unsere Videos werden in Übereinstimmung mit den Lehrplänen der einzelnen Bundesländer entworfen und von unseren Tutoren gedreht.
Unsere Inhalte werden permanent auf hochwertige Didaktik und inhaltliche Richtigkeit geprüft. So geht ein Video durch 20 Hände bevor wir es freigeben! Der geschulte Blick von Professoren, Lehrern oder Doktoranden garantiert dir, dass du den Inhalten auf sofatutor.com jederzeit vollständig vertrauen kannst.
Du wirst bemerken, dass unsere Lernvideos nur ca. 10 Minuten lang sind. Durch die Kürze & Prägnanz wird deine Aufmerksamkeitsspanne optimal genutzt. So lernst du zügig genau das, was du brauchst und verbesserst deine Noten effektiv.
Nur sofatutor.com bietet dir diese Auswahl an Videos.
Probiere es am besten gleich aus!
Schreibe uns eine E-Mail an: support@sofatutor.com.
Ideale Prüfungsvorbereitung: Vertiefe dein Verständnis mit Tests nach jedem Video.
Es ist wissenschaftlich erwiesen: Sehen, hören und vor allem selber lösen ist die ideale Kombination, um Wissen zu vertiefen und dauerhaft zu behalten. Dazu dienen die Tests nach unseren Videos.
Dein Abitur, der Realschulabschluss oder die Mittlere Reife sind in greifbarer Nähe? Lass dich von sofatutor unterstützen, sodass du deinen Abschluss bald in der Tasche hast!
Wir haben unsere Nutzer befragt und sind stolz auf das Ergebnis: 87% bemerkten nachhaltig positive Effekte wie bessere Noten und tieferes Fachverständnis. Über 90% konnten sich eigenständig komplett neuen Stoff mit sofatutor aneignen.
Wir nutzen aktuelle didaktische Methoden, um die Tests zu erstellen. Mit sofatutor hast du jederzeit Zugriff auf über 13900 Tests!
Nur sofatutor.com bietet dir Tests nach jedem Video.
Probiere es am besten gleich aus!
Schreibe uns eine E-Mail an: support@sofatutor.com.
Im täglichen Fach-Chat bieten dir unsere Lehrer eine individuelle Sofort-Hilfe.
Um deine Fragen zu klären, kannst du dich täglich an uns wenden. Einer unserer Lehrer hört dir zu und hilft dir persönlich bei deinen fachlichen Problemen, beim Lernen oder den Hausaufgaben in den Fächern Mathematik, Deutsch, Englisch, Französisch, Biologie, Physik und Chemie.
Dieses Angebot gilt für Kunden des 6- und 12-Monats- sowie des Einzel-Nachhilfe-Abos. Der Fach-Chat ist täglich von Montag bis Freitag zwischen 17 und 19 Uhr erreichbar. Wo gibt es das schon? Du kannst jeden Tag der Woche einem kompetenten Nachhilfelehrer spontan deine Fragen stellen und qualifizierte Antworten erhalten.
Nur sofatutor.com bietet dir den täglichen Fach-Chat.
Probiere es am besten gleich aus!
Schreibe uns eine E-Mail an: support@sofatutor.com.
Die sofatutor-Nachhilfestunden bieten alle Vorteile traditioneller Nachhilfe – und noch einiges mehr: Einzelunterricht, qualifizierte Lehrer, aber keine Anfahrtswege. Denn bei uns findet Nachhilfe online statt. So arbeitest du bequem vom PC aus mit deinem persönlichen Lehrer an deinen Leistungen.
Durch die Integration der sofatutor-Lernvideos und -Tests in das Unterrichtskonzept stehen dir auch außerhalb der Nachhilfestunden jederzeit hochwertige Lerninhalte zum Weiterlernen und Üben zur Verfügung – ausgewählt von deinem Lehrer.Jürgen Möller ist Leiter der Einzel-Nachhilfe bei sofatutor.com. Durch seine jahrelange Erfahrung als Gymnasiallehrer und Lern-Coach an über 300 Schulen in Deutschland, steht er für ein vielfach erprobtes und stetig weiterentwickeltes Nachhilfekonzept.
030 - 515 88 22 20nachhilfe@sofatutor.com
Jetzt einen Termin für ein kostenloses Beratungsgespräch vereinbaren.
Schreibe uns eine E-Mail an: support@sofatutor.com.
Ein geduldiger, immer verfügbarer Nachhilfelehrer.“ RTL
In kleinen Wissenseinheiten das Wichtigste per Videofilm erklärt.“ SZ
Günstiger als klassische Nachhilfe.“ heute.de
Nachhilfe im YouTube-Zeitalter.“ FAZ
„Vorher hatte ich kaum Lernschwierigkeiten, aber Kurvendiskussion war überhaupt nicht meins! Dank eurer Videos hab ichs dann endlich kapiert!”
„Ein paar Mitschüler hatten sich hier angemeldet und fanden es ziemlich cool. Inzwischen ist fast meine ganze Klasse hier und wir tauschen uns oft über die Videos aus, die bei den Hausaufgaben gut weiterhelfen!”
„Manche eurer Tutoren sind mir schon richtig ans Herz gewachsen! Da freue ich mich über jedes neue Video!”