Das Kommutativgesetz mit negativen Zahlen - Erklärung

Hallo! Das hier, das ist wieder das Kommutativgesetz und im letzten Film habe ich gezeigt, wie du für die Variablen negative Zahlen einsetzen kannst. Du kannst natürlich auch für dieses b hier negative Zahlen einsetzen, das zeige ich jetzt nicht und du hast sehen können, dass du für das a hier nicht einfach -6 einsetzen kannst, sondern du brauchst eine Klammer - dann die -6 - und natürlich auch noch die Klammer zu.

Wie kannst du jetzt davon überzeugt sein, dass das immer richtig ist, dass du immer alle negativen und positiven Zahlen einsetzen kannst? Zum einen ist mir bisher kein Fall bekannt, in dem das nicht funktioniert hat, in dem da also unterschiedliche Ergebnisse herausgekommen wären, auf der linken Seite und auf der rechten Seite. Nun kannst du sagen, das kann ich ja gar nicht für alle Zahlen getestet haben. Das ist richtig, das kann kein Mensch, dafür gibt es viel zu viele Zahlen. Wenn du dir überlegen möchtest: Wird das denn auch bei den Zahlen funktionieren, die ich noch einsetzen werde? Dann könntest du dir überlegen, was die Idee hinter dem Kommutativgesetz ist, wenn man da negative Zahlen einsetzt. Und dafür könntest du dir vorstellen, dass hier ein Zahlenstrahl existiert: Da ist die 0, hier sind die negativen Zahlen, da sind die positiven Zahlen, hier hab ich auch einmal ein paar allgemeinen Zahlen vorbereitet, nicht, auf diesen farbigen Papierstreifen - Farben wie ein Schlag in die Fresse, wird immer gerne genommen. Das hier ist also eine negative Zahl, die geht nach links. Dann addiere ich dazu eine positive Zahl und erhalte als Ergebnis diese negative gelbe Zahl hier. Das geht natürlich auch anders herum, ich könnte erst die positive Zahl hier nach rechts setzen und dann geht die negative Zahl nach links, und ich erhalte hier dasselbe Ergebnis wie bei der Rechnung. Ich glaube aus der Alltagserfahrung ist dir klar, dass das mit allen Zahlen funktioniert, es ist egal wie lang die sind, solange nur diese beiden und diese beiden gleich lang sind. Das könnte man auch in die Gegenrichtung machen, das ist immer das Gleiche, man kommt immer zu demselben Ergebnis.

Das Vor- und Zurückgehen am Zahlenstrahl ist so ähnlich wie das tatsächliche Laufen. Dazu habe ich mal hier diesen Wandergesell da vorbereitet, der könnte z. B. vom Nullpunkt aus starten und zunächst 5 Schritte nach rechts gehen und könnte dann wieder 3 Schritte zurück gehen, er wäre dann bei +2 Schritten. Das könnte er aber auch in einer anderen Reihenfolge machen, er könnte erst 3 Schritte nach links gehen und dann 5 Schritte vor gehen. Und wäre wieder an der gleichen Stelle. Das heißt: Hier gilt das Kommutativgesetz. Aber: Er ist jetzt vom Nullpunkt ausgegangen. Wenn der von einem anderen Punkt ausgeht, z. B. könnte er an dieser Klippe stehen und erst 3 Schritte nach links gehen und dann kommt er nicht mehr wieder. Dann gilt das Kommutativgesetz nicht, zumindest nicht in dieser Anwendung. Naja, es ist ja nichts passiert, das war ja keine Klippe, sondern ein Kissen lag drunter. Hier ist er wieder, wohlauf.

Das geht mit Geld so ähnlich, z. B. habe ich hier 4 Euro. Ich könnte erst +4 Euro rechnen, dann 3 Euro ausgeben, dann habe ich also noch 1 Euro. Umgekehrt geht das nicht: Denn wenn ich erst kein Geld habe kann ich auch nicht 3 Euro ausgeben. Jetzt kannst du sagen: Naja, ich könnte ja Schulden machen. Richtig, bei einer Bank. Aber das hier ist ein Tisch, das ist ja gar keine Bank und hier kann man keine Schulden machen. Also kann ich nicht erst 3 Euro ausgeben, wenn ich überhaupt keine habe. In dieser Anwendung funktioniert das wieder nicht. Du siehst also, es gibt genügend Möglichkeiten für unsinnige Anwendungen des Kommutativgesetzes, wenn man negative Zahlen einsetzt. Du hast die Möglichkeit den Sinn dahinter zu verstehen, das ist das, was ich hier mit den Streifen gezeigt habe, dass man da immer zu demselben Ergebnis kommt und wenn du das sinnvoll anwendest, auch auf die Zahlen anwendest, hier noch die Klammern beachtest und die Minuszeichen usw. dann kannst du damit gut rechnen und auch gute Ergebnisse erzielen.
Viel Spaß damit. Tschüss!