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Transkript Cosinussatz – Herleitung

Hallo! In diesem Video geht es um die Herleitung des Kosinussatzes. Wir betrachten ein Dreieck, in dem die Seiten b und c sowie der eingeschlossene Winkel α gegeben sind, und stellen uns die folgende Frage: Wie kann man die fehlende Seite a berechnen? Da ein Dreieck durch 2 Seiten und den eingeschlossenen Winkel eindeutig bestimmt wird, ist diese Frage sehr berechtigt. Wenn das Dreieck rechtwinklig ist, ist die Frage schnell zu beantworten, zumindest wenn wir uns noch an den Satz des Pythagoras erinnern. Was ist aber, wenn wir wie hier auf dem Bild ein allgemeines Dreieck haben? Mit dieser Frage wollen wir uns jetzt beschäftigen. Wenn wir die Höhe auf die Seite c konstruieren, dann zerfällt die Seite c in 2 Abschnitte, einmal ca und cb. Auf diese Weise zerfällt das Dreieck in 2 rechtwinklige Dreiecke. Das hier und das. Nun können wir die Seite a wie folgt berechnen: a2=h2+ca2. Da h und ca unbekannte Größen sind, sind wir noch weit vom Ziel entfernt, aber wenn wir h und ca durch die bekannten Größen, das heißt, durch b, c und α, ausdrücken können, dann haben wir unser Ziel erreicht. Als Erstes bemerken wir, dass wir cb ganz leicht berechnen können, und zwar so. Das ist einfach die Definition des Kosinus. Dann lässt sich h mithilfe des Pythagoras wie folgt schreiben: h2=b2-cb2. Und hier setzen wir gleich die 2. Zeile ein und bekommen: b2-b2×cos2α. Für ca gilt: ca=c-cb. Wenn wir die 2. Zeile einsetzen, dann bekommen wir: c-b×cosα. Diesen Zusammenhang kann man auf dem Bild sehr gut nachvollziehen. Das ist die gesamte Seite c, und wenn wir davon den Abschnitt cb abziehen, bekommen wir ca. Wenn wir nun die beiden letzten Gleichungen in die 1. einsetzen, hier sehen Sie alle 3 noch einmal, bekommen wir die folgende Gleichung. Nach dem Auflösen der Klammern verschwinden diese beiden Terme und wir sind an unserem Ziel angelangt. Die hergeleitete Gleichung heißt: der Kosinussatz. Wir haben diesen Satz für Dreiecke mit dem Winkel α < 90° hergeleitet, der gilt aber auch für α ≥ 90°. Der Beweis ändert sich dabei nur minimal und ist bestimmt eine sehr gute Übung. Wir betrachten nun ein Anwendungsbeispiel. Es seien alle 3 Seiten eines Dreiecks gegeben und gesucht sei der Winkel β. Dies ist eine klassische Fragestellung für die Anwendung des Kosinussatzes. Wir schreiben den Kosinussatz für den Winkel β auf und lösen anschließend nach cosβ auf. cosβ=(a2+c2-b2)/(2×a×c). Wir setzen nun die Werte für die Seitenlänge ein und bekommen, dass cosβ=0,65 ist. Dies entspricht einem Winkel von ungefähr 49,5°. Das war's zum Kosinussatz. Vielen Dank für Ihr Interesse und weiterhin viel Spaß mit Mathe!

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6 Kommentare
  1. Default

    Vielleicht könnte man an ein paar stellen mehr erklären, aber sonst ist das video gut.

    Von Enver, vor 25 Tagen
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    Meragell COS(0,65) --) (hoch -1) -1cos(49.5°)

    Von Taronga, vor etwa einem Jahr
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    So einfach ich kaum einfach nicht darauf h zu nutzen. Ach ja und was bitte ist eine Herleitung.

    Von Taronga, vor etwa einem Jahr
  4. Default

    an manchen stellen unklar.

    Von A3df565320, vor etwa 2 Jahren
  5. Default

    Wie kommt man von cos(beta)=0.65 auf beta = 49.5 ?

    Von Merabell A., vor etwa 3 Jahren
  1. Stephan1

    Hab dieses Video eben einem Freund gezeigt und wir fanden es (mal wieder) richtig gut gelungen.

    Von Stephan Bayer, vor etwa 7 Jahren
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