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Transkript Cosinussatz – Aufgabe (2)

Hallo! Wir können den Kosinussatz verwenden, wenn wir von einem Dreieck alle 3 Seiten gegeben haben und die Winkel suchen. Ich habe hier mal ein Dreieck vorbereitet, ich habe irgendwelche Gegenstände hier aus dem Studio genommen. Das ist übrigens ein Salzstreuer. Sieht nicht danach aus, ist aber einer, Designsalzstreuer. Das ist eine Wasserwaage mit Laserdingsbums dran und ein Brett. Ich habe die nachgemessen: 50 cm, 40 cm und 17,5 - und habe das genannt die Seite a, Seite b, Seite c. Das ist bekannt. Wir suchen alle weiteren Winkel. Das geht mit dem Kosinussatz, und zwar folgendermaßen. Ich fange mal mit dem Kosinussatz an, in dem α vorkommt. Der beginnt mit a². Ja, kann man sich leicht merken, wo a vorne steht, da steht α am Ende, wo b vorne steht, steht β am Ende. a²=b²+c²-2bc×cosα. Wenn wir jetzt α suchen, dann muss ich dieses ganze Ding natürlich noch nach α umstellen. Und das geht so, indem ich nämlich -b², -c² rechne und dann erst mal quasi durch -1 teile. So kann man sich das auch vorstellen. Wenn ich -b² gerechnet habe und durch -1 geteilt habe, steht dann auch +b². Bei c² das Gleiche, a² stand auf der linken Seite schon, ich habe durch -1 geteilt, und dann steht da jetzt -a². Und dann teile ich noch durch das, was übrig bleibt, nämlich -2×b×c. Ich habe das schon mal vorgemacht, deshalb mache ich das hier in Kurzversion. So, und dann, wenn man das hier alles auf die andere Seite gebracht hat, dann bleibt ja hier noch cosα stehen, und wir wollen nicht cosα haben, sondern α selber, deshalb müssen wir auf beiden Seiten cos^-1 rechnen, cos^-1 von diesem Ausdruck hier, das ist gleich α. Dann muss man halt die gegebenen Dinge hier einsetzen. Das mache ich eben. b² ist, ja, 40², könnte man auch direkt ausrechnen, tue ich aber nicht. 40²+50², c ist ja 50, -a², das ist 17,3², das kann ich nicht im Kopf ausrechnen, und wir teilen durch 2×b, 40, ×c, 50. Du siehst, ich lasse alle Zentimeterangaben weg, einfach um Platz zu sparen. Es handelt sich immer um Zentimeter dabei. Und davon müssen wir den cos^-1 berechnen, Arcuskosinus auch genannt, und das ist dann gleich α. Und für α kommt Folgendes raus: Ungefähr haben wir dann, wo steht's, 18,2°. So und das möchte ich mal eben nachmessen. Wo ist denn α? α liegt ja der Seite a gegenüber und da kann ich mal gucken, ob das ungefähr hinhaut hier. Ja, das sind jetzt 20° hier, aber ich glaube, es liegt auch nicht ganz richtig. So ist es, glaube ich, etwas schöner, dann wird das mit den 18,2° schon stimmen. Also ich kann das hier natürlich nicht, wenn ich einfach Gegenstände aneinanderlege, so ganz exakt machen, aber so ungefähr stimmt das wohl. Ja und jetzt kann man weiterhin mit dem Kosinussatz, den man jetzt zu anderen Winkeln umstellt, natürlich die weiteren Winkel ausrechnen. Vielleicht zeige ich es eben noch mal, wenn wir jetzt β suchen. Ich würde vorschlagen, den Kosinussatz dann einfach mit den Variablen umzustellen und nicht Zwischenergebnisse auszurechnen. Denn, wenn man das macht, dann übt man den Kosinussatz, man übt das Umstellen von Formeln und nicht das Eintippen in den Taschenrechner. Wenn man erst mal die Zwischenergebnisse da hat, dann weiß man nicht mehr, wie die sich weiterentwickeln, was damit gemacht wird. Bei den Variablen sieht man es, deshalb ist es immer gut, mit den Variablen weiterzurechnen. Ich nehme mal hier die Version mit b². Und dann weiß ich, die beiden anderen Seiten müssen vorkommen, nämlich a und c. Also, ich schreibe den Kosinussatz auf, hier mit b² am Anfang: b²=a²+c²-2ac×cosβ. Jetzt möchte ich nach β umstellen. Ich rechne erst b²-a²-c² und habe dann auf der anderen Seite -2ac×cosβ stehen. Dann kann ich alles mit -1 multiplizieren, das ist vielleicht die einfachste und einsichtigste Version, die man hier finden kann, alles mit -1 multiplizieren und eben hier diese Summanden etwas vertauschen. Dann habe ich +a², wenn ich hier mit -1 multipliziere, +c²-b², ist ja mit -1 multipliziert worden, und hier steht einfach noch 2ac× Kosinus des eingeschlossenen Winkels, also β. Und dann teilen wir durch 2ac, dann kommt da raus: (a²+c²-b²)/(2ac)=cosβ. Danach muss man auf beiden Seiten die Kosinusfunktion anwenden, und zwar die Umkehrfunktion des Kosinus, nämlich cos^-1. Ich kann das vielleicht auch mal eben zeigen: cos^-1 von dem, was in der Klammer steht, nämlich (a²+c²-b²)/(2ac). Jetzt schreibt der Stift vor Schreck schon nicht mehr, aber es gibt ja noch einen. Und hier steht jetzt, auf der anderen Seite, das schreibe ich hier noch mal eben hin, da steht jetzt cos^-1(cosβ). Ja, und das ist, wenn man den vernünftigen - oh, der schmiert etwas, egal, jetzt muss ich so weiterschreiben. Ich habe dreckige Hände. Wenn man einen geeigneten Definitionsbereich voraussetzt, dann ist das tatsächlich gleich β. Da sage ich jetzt nicht so viel zu. In den Dreiecken, die wir hier konkret betrachten, ist es erfüllt, dass der Definitionsbereich so ist, dass die Umkehrfunktion hier auch eindeutige Ergebnisse hat und dass die ganze Sache hier klappt, cos^-1(cosβ), dass das eben gleich β ist. Ansonsten müsste man noch mal, wenn man da genauer einsteigen will, sich die trigonometrischen Funktionen angucken, das soll jetzt hier nicht das Thema sein. Ja, so macht man das. Und dann muss man hier natürlich die entsprechenden Werte einsetzen und das in den Taschenrechner eintippen und dann kommt da was raus. Hier zum Beispiel für, ich habe es vorbereitet, für β in dem Fall kommt dann also 46,1 raus, ungefähr. Nur zum Vergleich, wenn du das also einsetzen möchtest. Ja, dann gehe ich mich waschen. Viel Spaß. Tschüss!

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3 Kommentare
  1. Default

    Ein sehr gutes Video! :)
    Zuverlässig, wie immer! :)

    Von Mauricio Carvalho, vor fast 3 Jahren
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    Also ist jetzt cos-1(cosß) gleich ß ??? :O

    Von Pierre/Luca M., vor fast 4 Jahren
  3. Default

    ohh habs verstanden,es soll die umkehrfunktion sein^^ gut erklärt! mfg Blaubär :))

    Von Pierre/Luca M., vor fast 4 Jahren