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Transkript Cosinusfunktion – Graph

Hallo, wir machen die Kosinusfunktion am Einheitskreis im Bogenmaß für alle reellen Zahlen. Das geht so. Hier mache ich es etwas schneller. Ich habe bei der Sinusfunktion vielleicht für manche etwas zu langatmig erklärt, hier geht es jetzt schneller.   Das ist ein Einheitskreis, weil ich das so behaupte, denn in meinem Koordinatensystem hier ist die Maßeinheit der Radius dieses Kreises, deshalb ist das hier in meinem Universum der Einheitskreis. In diesem Einheitskreis steht schon ein Koordinatensystem eingezeichnet. Ich habe bewusst auf x und y verzichtet, weil man hier ein x und y sonst hat und da auch ein x und y und damit das nicht irgendwie durcheinandergeht, versuche ich das so ein bisschen zu vermeiden, diese Beizeichnungen.   Also wie kommen wir jetzt zu Werten der Kosinusfunktion? Das geht so:   Wir nehmen eine Strecke einer bestimmten Länge, zum Beispiel hier eine Strecke der Länge 1, wickeln die immer von diesem Punkt an gegen den Uhrzeigersinn, also in mathematisch positiver Richtung hier um diesen Kreis herum und kommen dann zu diesem Punkt. Hier ist ein Punkt auf der Kreislinie meines Einheitskreises. Von diesem Punkt aus führt eine Strecke zur vertikalen Achse des Koordinatensystems hier in dem Einheitskreis. Das ist die Strecke, die von diesem Punkt aus zur vertikalen Achse führt. An der Stelle steht dann oft in der Literatur es sei die x-Koordinate dieses Punktes des Einheitskreises. Ich sage einfach, das ist hier die Strecke und diese Strecke ist jetzt der Funktionswert der Kosinusfunktion an der Stelle 1. ja, so ungefähr, hier müsste das sein. Da darf ich einen Punkt hinmalen. Wir können auch eine Strecke der Länge 2 nehmen und die um den Kreis wickeln. Das ist dann diese Strecke hier. Das wickeln wir hier um den Kreis herum bis hier hin und kommen zu einem Punkt auf der Kreislinie des Einheitskreises. Von diesem Punkt aus führt eine Strecke zur vertikalen Achse. Die ist so lang. Weil sie hier im negativen Bereich des Koordinatensystems ist, zählt sie auch negativ. Das ist die Strecke. Die muss ich jetzt hier nach unten abtragen. Dann komme ich zu diesem Punkt hier der jetzt direkt auf der 2 liegt, aber ich glaube du kannst es sehen, da ist der Punkt. Das ist der Funktionswert der Kosinusfunktion an der Stelle 2. Nun und so kann ich das jetzt munter weitermachen. Vielleicht nehme ich mal eine Strecke der Länge 4. Das ist die Länge 4. Also 4-mal der Radius. Den kann ich jetzt um diesen Kreis herumwickeln, 1, 2, 3 und die 4. Dann komme ich zu einem Punkt auf der Kreislinie des Einheitskreises. Auch von diesem Punkt aus führt eine Strecke zur vertikalen Achse. Das ist diese Strecke hier mit der Länge. Die zählt negativ, weil hier der negative Bereich dieser horizontalen Achse ist und das muss ich dann hier eintragen, da also, und dann komme ich also zu dem Punkt hier. Das ist auch ein Wert der Kosinusfunktion an der Stelle 4. Das geht natürlich auch alles in der anderen Richtung. Ich kann auch eine Strecke der Länge 1 in negativer Richtung um den Kreis wickeln. Dann fange ich wieder hier an dieser Stelle an, also an Punkt 1 dieser horizontalen Achse fängt man immer an und jetzt kann man in negativer Richtung herumwickeln und dann kommt man zu einem Punkt. Von diesem Punkt aus führt eine Strecke zur vertikalen Achse und diese Strecke ist der Funktionswert der Strecke 1 und das ist also hier. Ja, und wenn ich das jetzt also immer weiter führe, dann komme ich hier zu folgender Funktion, zu einem Graphen, der dann ungefähr so aussieht. Oh, das ist aber ein bisschen krakelig geworden hier. Also hier geht es weiter und da geht es wieder rauf, ich weiß nicht, was hier mit der Tafel los ist, da gibt es hier ein Problem, da wird es krakelig, und da geht es auch weiter noch. Das ist die Kosinusfunktion, die auf den reellen Zahlen definiert ist, cos (x) schreiben wir dazu. Und weil wir jetzt an den Stellen 1, 2, 3 und -1, -2, -3 usw. immer so ganz krumme Funktionswerte haben, teilt man deshalb die reelle Achse nicht in andere Einheiten, aber man bezeichnet andere Punkte als normal hier 1,2,3 usw., und zwar bezeichnet man hier vielfache von Pi. Also hier ist zum Beispiel 1 x Pi, das ist einfach die Zahl Pi, die da ist, an dieser Stelle. Dann haben wir Pi / 2, das ist hier. Und hier ist 3 / 4 Pi, hier ist 1 / 4 Pi, hier hinten ist dann 2 Pi, da an der Stelle, da komme ich nicht mehr dran. Hier ist - Pi und hier ist - Pi / 2. Das hat jetzt den Vorteil, dass an diesen markanten Punkten, Werte der Kosinusfunktion auftreten, die für uns Menschen ganz passend sind, zum Beispiel wenn ich jetzt hier die Strecke der Länge Pi um den Kreis herumwickel, dann komme ich ja direkt hier zu diesem Punkt, dieser Punkt hat einen Abstand zur vertikalen Achse. Der Abstand ist 1 und die Strecke die von diesem Punkt zur vertikalen Achse führt zählt hier also negativ und an der Stelle Pi hat die Kosinusfunktion also den Wert von -1. An der Stelle Pi / 2, dann bin ich hier auf dem Einheitskreis, und zwar direkt auf der vertikalen Achse das bedeutet die Kosinusfunktion hat an der Stelle Pi / 2 eine 0 Stelle, hier der Funktionswert ist einfach 0. Es gibt auch bestimmte Werte noch für Pi / 4 das ist dann hier und da auch, und da sind wir wieder bei dem, was wir gewohnt sind. Ebenso ist es hier,  bei - Pi haben wir hier den Funktionswert -1, bei - Pi / 2 haben wir eine 0 Stelle. Da kennen wir uns wieder aus, das haben wir schon als wir klein waren oft genug gemacht.   Damit ist hier die Kosinusfunktion in voller Schönheit zu sehen. Viel Spaß damit. Tschüss.  

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1 Kommentar
  1. Default

    Sehr gut!! Endlich verstanden, danke:D

    Von Neumann Christina, vor 3 Monaten