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Transkript Bruchgleichungen – Aufgabe 8

Hallo! Hier ist eine Bruchgleichung. Sie lautet: 2/(x-2)+5=2x+4/(x-2). Als Erstes überlegen wir uns, welche Zahlen sind ausgeschlossen, welche Zahlen darf man nicht für x einsetzen. Das sind die Zahlen, für die hier die beiden Nenner 0 werden und da glaube ich, muss ich nicht lange erklären, das ist die 2. Wenn man nämlich für x 2 einsetzt, wird dieser und dieser Nenner=0 und dann macht diese Gleichung keinen Sinn mehr. Deshalb müssen wir die 2 ausschließen, aus der Menge der Zahlen, die wir einsetzen können. Wir können hier grundsätzlich die rationalen Zahlen einsetzen - hier Q. Wir können auch reelle Zahlen einsetzen. Aber hier beschränke ich mich mal auf Q. Der Definitionsbereich ist also Q ohne 2 oder ohne die Menge, die die Zahl 2 enthält. Das sind hier die Mengenklammern. Dann möchte ich umformen, und zwar soll das x aus dem Nenner raus. Meistens fängt man so an. Das x muss sowieso aus dem Nenner raus, wenn wir irgendwie nach x auflösen wollen. Von daher machen wir es jetzt. Dazu muss ich einfach mit dem gesamten Nenner multiplizieren, nämlich mit x-2. Wenn man 2/(x-2) mit x-2 multipliziert, dann kann man x-2 kürzen und die 2 bleibt alleine da stehen. Wenn man 5 mit x-2 multipliziert, schreibt man einfach 5×(x-2). x-2 hier selbstverständlich in Klammern, weil x-2 eine Summe ist. Wenn man eine Summe multipliziert, dann gehört da eine Klammer drum herum. Wenn ich diesen Bruch, dessen Nenner x-2 ist, mit x-2 multipliziere, kann ich x-2 kürzen und der Zähler bleibt alleine da stehen. Der Zähler ist 2x+4. Jetzt mache ich hier noch eine Termumformung, um das hier auszurechnen. Das ist dann also 2+5×x, da wende ich das Distributivgesetz an. 5×(-5×2)=2x+4. Was könnte ich denn jetzt am besten machen? Ich möchte 2x abziehen, also rechne ich -2x auf beiden Seiten. Diese Termumformung hier 2-10=-8, das bekomme ich auch so hin. Hier haben wir gerechnet -2x. Die Termumformung kann ich hinschreiben, habe ich auch gemacht. 5x-2x=3x. Hier stehen die 2x dann nicht mehr, weil ich die ja abgezogen habe. Da steht dann nur noch 4. Dann muss ich noch die 8 addieren, denn -8+8=0. Dann steht hier einfach nur noch 3x auf der linken Seite. 4+8=12 und jetzt kann ich beide Seiten durch 3 teilen. 3x/3=x,12/3=4. So, damit ist die Gleichungsumformung bis dahin erledigt. Den Definitionsbereich haben wir auch und als 3. kommt noch die Probe. Dazu machen wir Folgendes: einfach für x=4 einsetzen. Dann steht hier oben: 2/(4-2)+5=2×4+4/(4-2). Das kann man jetzt ausrechnen. 2/(4-2)=2/2+5 und hier steht 2×4=8+4=12. 4-2=2 und hier kann ich natürlich noch kürzen. 2/2=1 und 1+5=6. 12/2=6 und damit ist die Probe nun auch gelungen. Die Sache ist hier erledigt. Bis bald, tschüss.

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