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Transkript Bruchgleichungen – Aufgabe 2

Hallo! Wir machen eine Bruchgleichung, noch mal ganz langsam. Und zwar hab ich mir folgendes überlegt: 1/(x+3), ich wusste nicht mehr, ob +3 oder -3, =9. So, dass ist die Bruchgleichung: 1/(x+3)=9 Als erstes überlegt man sich, was ist der Definitionsbereich dieser Bruchgleichung. Eine Bruchgleichung ist ja eine Gleichung, deren Gleichungsvariable auch im Nenner vorkommt. Hier ist der Nenner. Und der Nenner darf nicht 0 werden, weil man durch 0 nicht teilen kann. Und wir müssen jetzt alle Zahlen ausschließen, die den Nenner gleich 0 machen, denn die darf man für x nicht einsetzen, dann würde ein sinnloser Ausdruck entstehen, und das möchten wir nicht, das möchten wir vermeiden. Deshalb legen wir den Definitionsbereich fest. Der Definitionsbereich besteht aus allen Zahlen, die man hier einsetzen kann, ohne dass die Gleichung unsinnig wird. Grundsätzlich wollen wir die rationalen Zahlen einsetzen. Die rationalen Zahlen haben das Zeichen Q mit dem Doppelstrich hier. Das D mit dem Doppelstrich nennt sich Definitionsbereich. Q mit dem Doppelstrich bedeutet die rationalen Zahlen. Aber wir können nicht alle einsetzen, wir müssen eine ausschließen. Nämlich, das ist hier das Zeichen „ohne“, dieser Strich, wir müssen nämlich -3 ausschließen, denn dann würde diese Gleichung keinen Sinn machen. Und deswegen wird die Menge, das sind ja hier 2 Mengenklammern, die Menge, die die Zahl -3 enthält, hier aus diesen rationalen Zahlen ausgeschlossen, und alle rationalen Zahlen ohne die -3, das ist also der Definitionsbereich. Das sind alle die Zahlen, die man hier einsetzen kann, ohne dass die Gleichung sinnlos wird. Jetzt kann ich mich um das Lösen der Gleichung kümmern. Ich möchte eine Äquivalenzumformung machen. Das 1. bei Bruchgleichungen ist immer, im Prinzip zumindest, ist, dass das x aus dem Nenner heraus muss. Oder aus den Nennern, falls man mehrere hat. Da muss man sich als erstes drum kümmern, und das möchte ich jetzt dadurch erreichen, indem ich die gesamte Gleichung mit diesem gesamten Nenner multipliziere. Der Nenner ist x+3, ich werd also mit x+3 multiplizieren. Dann steht hier auf der linken Seite 1×(x+3)/(x+3)=9×(x+3). Ich muss ja auf beiden Seiten ×(x+3) rechnen, nicht nur auf einer Seite. Und hier sehe ich dann, dass ich x+3 kürzen kann. Ich sag´s noch mal gerne: Man darf aus Summen nicht kürzen! Das heißt einen einzigen Summanden hier aus der gesamten Summe irgendwie kürzen, das geht nicht. Wird immer wieder versucht, von Schülern, ist aber trotzdem falsch. Ich kann aber mit einer gesamten Summe kürzen, wenn der Nenner eine gesamte Summe ist und hier diese gesamte Summe als Faktor vorkommt; 1× diese gesamte Summe steht ja hier, das ist ein Faktor. Dann darf ich mit dieser Summe kürzen. Wenn also x+3 gekürzt ist, dann bleibt da noch die 1 stehen, und auf der anderen Seite darf ich gleich ausmultiplizieren. 9×x+9×3. Steht dann hier, 9×x+9×3, das ist 27, und das kann ich gleich weiter umformen, indem ich nämlich auf beiden Seiten jetzt -27 rechne. Dann steht hier -26=9x. So, dann brauch ich doch die 2. Folie. Schreib ich gleich hier unten weiter, viele Zeilen sind´s ja nicht mehr. Also, -26=9x, ich möchte die gesamte Gleichung jetzt durch 9 teilen. Dann steht hier also -26/9=x. Und das ist dann auch schon die Lösung, -26/9. Ja, vielleicht bist du ein bisschen enttäuscht, hättest vielleicht eine schöne, glatte Zahl erwartet. Das kommt aber bei Bruchgleichungen vor, dass da auch Brüche rauskommen. Ich kann noch die Probe machen. Möchte ich auch gerne noch machen. Jetzt am Anfang kann man die ruhig vielleicht jedes Mal machen, auch wenn viele Schüler das etwas lästig finden. Ich möchte hier einsetzen, das was ich für x herausgefunden habe. Und zwar steht dann hier 1/(-26/9). Ja das ist jetzt ein Doppelbruch, kein Problem. +3 muss ich jetzt rechnen. Und da möchte ich diese +3 gleich mal in 9tel verwandeln. Wenn man 3 in 9tel verwandeln möchte, muss man ja, 3/1 haben wir ja da, 3/1 mit 9 erweitern. Dann haben wir also 3×9 im Zähler, das sind 27, 9×1 im Nenner, und das ist 9. Hier steht also 1/((-26/9)+(27/9)). Letzten Endes kommt dann hier bei dem Nenner heraus 1/(1/9), denn -26/9+27/9=1/9. Und hier wird also die 1 durch einen Bruch geteilt. Man teilt durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrwert multipliziert. Das ist also 1×(9/1), oder 9 Ganze, sagt man ja auch,. Der Kehrwert von 1/9 ist 9 Ganze. Und das ist gleich 9. Und damit haben wir auch die Probe hier erledigt. Das sollte dich nicht schrecken, dass es hier jetzt um Doppelbrüche geht. Und so weiter. Wenn du die Bruchrechnung einfach anwendest, es sind ja nicht allzu viele Regeln, dann sollte dich das nicht aus der Ruhe bringen. Das ist alles kein Problem, auch wenn es vielleicht kompliziert aussieht. Ja dann, viel Spaß damit, bis bald. Tschüss!

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4 Kommentare
  1. Giuliano test

    @Norbert Fiala:
    Die Frage war nicht nach der Lösung der Gleichung gestellt, sondern nach dem Definitionsbereich. Und der Defintionsbereich oder auch Definitionsmenge genannt, ist die Menge der Zahlen x, die ich in diese Gleichung einsetzen darf.
    Hier noch ein Hinwies zur Beschriftung:
    Der "Backslash! (\) bedeutet in der Mathematik bei Menge "Ohne" oder "Außer". Hier zwei Beispiele:
    D=Q\{0}
    Der Definitionsbereich umfasst alle rationalen Zahlen, außer der 0.
    D=Q\{-2}
    Der Definitionsbereich umfasst alle rationalen Zahlen, außer der -2.
    Oder anders gesagt. Man darf für x alle rationalen Zahlen außer ... einsetzen.
    Ich hoffe, dass ich helfen konnte.

    Von Giuliano Murgo, vor mehr als 2 Jahren
  2. Default

    Kann das sein, dass die Antwort bei der Testfrage falsch ist?
    es kommt doch 20/9 heraus, oder?

    (Die Antwort die für x richtig angezeigt wird ist nämlich 2)
    und 2-2 im nenner ergibt 0 und 2 durch 0 darf man nicht dividieren;)

    Von Norbert Fiala, vor mehr als 2 Jahren
  3. Default

    habs kappiert danke

    Von Drnobby, vor fast 4 Jahren
  4. Nitro circus

    Suuuuuper Video,
    das hat mir echt geholfen.

    Von P. G., vor mehr als 6 Jahren