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Transkript Bruchgleichungen – Aufgabe 12 (Teil 1)

Hallo, hier ist eine Bruchgleichung, sie lautet: -6/(4x-16)+5/(x2-16)=9/(3x+12). Und abweichend von meiner üblichen Methode möchte ich mich nicht zuerst darum kümmern, welchen Definitionsbereich wir hier haben, sondern ich möchte so umformen, dass man den Definitionsbereich einfacher sehen kann, als es jetzt der Fall ist. Wenn ich diese Umformung nicht machen würde, müsste ich jetzt diese 3 Nenner jeweils = 0 setzen, dann hätte ich also 3 Gleichungen, die ich alle lösen müsste. Und das hier wäre zudem noch eine quadratische Gleichung. Ich machs jetzt anders, dann wird es einfacher. Und zwar sehe ich ja gleich hier in diesem Nenner, das ich etwas ausklammern kann, nämlich die 4. Also hier die 4 ausklammern, dann steht da noch: -6/4×(x-4), denn 4×-4 =-16. Und im 2. Nenner darf man auch was erkennen: Ja, vielleicht erinnerst du dich: 3. binomische Formel. Die kannst du hier anwenden, denn 16 ist ja 42. Denn wenn da also steht x2-42, dann ist das: (x+4)×(x-4). Ja nach der 3. binomischen Formel. Der Zähler fehlt noch also 5/(x+4)×(x-4). Und dann kann man hier im Nenner auch noch was ausklammern, und zwar was bietet sich da an? Na, es ist die 3, also: 3(x+4) ist ja 3x+12. Und jetzt ist es etwas einfacher den Definitionsbereich abzulesen. Der kommt jetzt groß und schön dahin: Grundsätzlich sind es wieder alle rationalen Zahlen, dafür steht das Q. Ich könnte auch reelle Zahlen nehmen, aber meist werden die Bruchzahlen erst behandelt und dann kommen die reellen Zahlen und deshalb nehme ich hier die rationalen Zahlen, also das Q. Also dieser Nenner wird 0= und dieser auch, wenn x=-4 ist. Wenn ich hier nämlich für x=-4 einsetze, dann steht hier: 0×-8, denn -4-4=-8. 0×-8=0, dann wäre der gesamte Nenner 0. Also -4 fällt schon mal heraus, das können wir nicht einsetzen. Wenn ich +4 einsetze, wird dieser Nenner 0, dieser wird dann übrigens auch 0. Damit ist diese Sache auch schon hier geklärt. Also -4 und +4 dürfen wir nicht einsetzen. Ja, da kommt zwar nicht die Polizei, aber es würde ein unsinniger Ausdruck entstehen. So als nächsten möchte ich mir diese Gleichung, so schön, wie sie da steht, auf den Hauptnenner erweitern. Was ist der Hauptnenner? Der Hauptnenner besteht aus allen Faktoren, die hier irgendwo im Nenner vorkommen. Da ist zunächst zu nennen: die 3 - ja ich mach das ein bisschen in der Reihenfolge, die Zahlen aufsteigend - die 4 steht da, die gehört auch in den Hauptnenner, dann haben wir hier (x-4), das ist auch ein Faktor und dann haben wir hier (x+4) und das sind alle. Und jetzt kann ich diese gesamte Gleichung eben auf den Hauptnenner bringen. Das bedeutet, dass ich jeden einzelnen Bruch so erweitere, dass er diesen Hauptnenner hat. Dann kann man mit dem gesamten Hauptnenner multiplizieren und die Gleichung hat keine Brüche mehr, sie hat keine Nenner mehr. Das zeige ich im 2. Teil. Bis dahin tschüss.  

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