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Transkript Bruchgleichungen – Aufgabe 1

Hallo, wir machen Bruchgleichungen. Das ist nicht schlimm, wenn man Bruchgleichungen macht, da muss man halt nur etwas mit der Bruchrechnung machen und dann geht das auch. Ich möchte einfach mal mit einer Gleichung anfangen, mit einer Bruchgleichung und die heißt: 1/(x-1)=1 So sieht die aus, irgendeine Bruchgleichung, nicht so schwierig. Und die erste Frage könnte natürlich sein: Was ist eigentlich eine Bruchgleichung? Eine Bruchgleichung ist eine Gleichung, deren Gleichungsvariable auch in einem Nenner vorkommt. Also wir haben hier einen Bruch stehen, Nenner ist unten, Zähler ist oben. Dieses x hier kommt auch im Nenner vor, es kommt sonst nirgendwo anders vor, könnte auch wo anders vorkommen, aber es kommt eben auch im Nenner vor, von daher ist es eine Bruchgleichung. In dem Satz: "Eine Bruchgleichung ist eine Gleichung, deren Gleichungsvariable auch im Nenner vorkommt", da müsste man noch klären: Was ist eine Gleichungsvariable? Normalerweise ist das die Variable in der Gleichung, man spricht aber von Gleichungsvariablen, um die von Parametern usw. noch zu unterscheiden, möchte ich jetzt gar nicht weiter darauf eingehen, nimm es vielleicht einfach so hin, dass diese Variable hier Gleichungsvariable heißt. Das kann man in einem anderen Zusammenhang, wenn man diese Parameter dazufügt usw. kann man das noch mal klären, wie das genau zu unterscheiden ist. So, wie kann man diese Gleichung hier lösen? Zunächst einmal löst man diese Gleichung überhaupt nicht. Man fängt nämlich ganz woanders an, man überlegt sich: Was kann ich für das x einsetzen? Was ist überhaupt möglich? Und wie Du ja weißt, kann man durch 0 nicht teilen bzw. es ist bisher zumindest keine irgendwie vernünftige Definition aufgetaucht. Immer wenn man das definieren möchte, verstrickt man sich in Widersprüche und deshalb sagt man also man kann durch 0 nicht teilen. Jetzt könnte ich aber zum Beispiel für x 1 einsetzen, dann würde hier stehen 1/(1-1) und dann würde ich ja durch 0 teilen, weil 1-1 0 ist und das geht nicht, und bevor man jetzt hier mit den Umformungen anfängt, müsste man erst mal klären, was man hier überhaupt für das x einsetzen darf und was nicht. Nämlich in diesem Fall darf man also 1 nicht einsetzen. Und das schreibt man jetzt so: Das D mit dem Doppelstrich nennt sich Definitionsbereich. Der Definitionsbereich besteht aus allen Zahlen, die man für x einsetzen darf, ohne dass der Nenner hier 0 wird, also quasi alle Zahlen, die hier sinnvoll einsetzbar sind oder manche sagen auch, die erlaubt sind, obwohl das ja nicht irgendwie die Matheregierung ist, die da was erlaubt und verbietet und so. Sondern es sind einfach die Zahlen, die Sinn machen, die Zahlen, für die der Nenner nicht 0 ist. Da Bruchgleichungen behandelt werden, meist, bevor die reellen Zahlen eingeführt werden, gehen wir hier von der Menge Q aus, man könnte auch die reellen Zahlen nehmen, aber weil viele die nicht kennen, gehen wir hier von Q aus, das sind also alle rationalen Zahlen. Q von Quotient, nicht alle rationalen Zahlen sind ja die Brüche. Da Bruchgleichungen behandelt werden, meist, bevor die reellen Zahlen eingeführt werden, gehen wir hier von der Menge Q aus, man könnte auch die reellen Zahlen nehmen, aber weil viele die nicht kennen, gehen wir hier von Q aus, das sind also alle rationalen Zahlen. Q ist eine Menge und die 1 ist quasi ausgesondert aus dieser Menge und dann gehört sie eben nicht mehr dazu. Und dann haben wir hier, also alle anderen Zahlen hier dürfen wir aber einsetzen, und deshalb ist also Q[1] der Definitionsbereich dieser Bruchgleichung. Jetzt komme ich zum Lösen dieser Bruchgleichung: Nun, das erste, was man macht, ist: man muss kucken, dass das x irgendwie aus dem Nenner verschwindet. Und hier ist das schnell gemacht, ich kann also die gesamte Gleichung hier mit diesem Nenner multiplizieren, nämlich mit (x-1) und dann, ich schreibe das einmal jetzt hier ganz ausführlich aus. Dann haben wir hier: (1/(x-1))×(x-1) und auf der anderen Seite steht dann 1×(x-1). Man muss beide Seiten mit (x-1) multiplizieren, hab ich jetzt gemacht. Und hier kann ich (x-1) kürzen. Ich möchte noch mal darauf hinweisen: Man kann aus Summen nicht kürzen, aber man kann mit Summen kürzen. Ich könnte jetzt nicht einfach ein x rauskürzen oder so was, das wäre ja aus der Summe einen Summanden herausnehmen, aber wenn das hier ein Produkt ist und hier der Nenner einfach so alleine steht und dieser Nenner eine Summe ist und die beiden gleich sind hier, dann darf ich auch mit (x-1) kürzen. Also mit einer Summe darf ich schon kürzen, aber einen Summanden aus einer Summe rauskürzen, das geht nicht. Deshalb steht jetzt hier also auf der Seite einfach 1 und hier kann ich das natürlich auch auflösen, die Klammer auflösen, 1×x ist ja x und 1×-1 ist -1, jetzt mache ich doch noch hier das Äquivalenzzeichen hin. Manche möchten, das wäre ja auch die korrekte Weise, dass man hier überall die Äquivalenzzeichen hinmacht, jetzt habe ich hier keinen Platz dafür oder keinen Platz gelassen, na ich erlaube mir das mal, dass ich die nicht überall hinschreibe. Was kann ich jetzt noch machen? Ich kann auf beiden Seiten 1 addieren und da steht hier 2=x, nicht wahr 1+1 ist ja 2; x-1+1 ist einfach x, weil -1 und +1 sich zu 0 addiert. So, und damit ist diese Bruchgleichung gelöst, ich darf natürlich noch einmal kucken, ob das wirklich stimmt. Können wir eben im Kopf machen: 1/(2-1) nun ja, 2-1, das ist 1. 1/1=1 und das steht hier. Damit ist diese Gleichung also gelöst. Wichtig ist, erst den Definitionsbereich klären, wenn ich nämlich hier zum Beispiel feststellen würde, dass das x=1 sein soll, dann würde ich mich ja hier in Widersprüche verwickeln, dann würde das nicht funktionieren. Und deshalb muss man immer erst den Definitionsbereich hinschreiben, erst sich überlegen, welche Zahlen kann ich überhaupt einsetzen und dann kann man erst die Umformung machen, wie man sieht, die 2 hier ist im Definitionsbereich, das ist kein Problem. Und damit ist dann wirklich auch die Gleichung endgültig gelöst. Viel Spaß damit, bis bald. Tschüss.  

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19 Kommentare
  1. Felix

    @Ulrich Wiebeler 1: Das ist womöglich ein technisches Problem. Bitte logge dich bei sofatutor aus und schließe deinen Browser (Firefox, Safari, Internet Explorer ...). Stelle sicher, dass alle Fenster deines Browser auch wirklich geschlossen sind. Öffne ihn dann erneut und logge dich wieder bei sofatutor ein und versuche es erneut.
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    Von Martin B., vor 22 Tagen
  2. Default

    Ich kann das Video leider nicht sehen. Woran könnte das liege?

    Von Ulrich Wiebeler 1, vor 27 Tagen
  3. Default

    Schönes Video, aber am anfang ist es ein bisschen zu lang !

    Von Nike Kreitmeyr, vor 6 Monaten
  4. Default

    SUPER!! (Wie immer) :)
    Nur die ersten vier Minuten haben mir persönlich nicht sonderlich viel gebrach, weil wir das auch nie in der Schule verwenden mussten. Aber ansonsten TOP

    Von Mosers Home, vor 6 Monaten
  5. Default

    Die ersten 4 Minuten waren etwas langwierig, aber toll erklärt. Danke schön!

    Von Bine123, vor etwa einem Jahr
  1. Felix

    @Kyan3: Bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Bei umfangreicheren Fragen kannst du dich auch gerne an den Hausaufgaben-Chat wenden, der dir von Mo-Fr von 17-19 Uhr zur Verfügung steht.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.

    Von Martin B., vor etwa einem Jahr
  2. Default

    aber ich versteh´s nicht ganz

    Von Kyan3, vor etwa einem Jahr
  3. Default

    cool

    Von Kyan3, vor etwa einem Jahr
  4. Default

    ich habe aufgaben mit brüchen und ganzen zahlen und klmmern.
    :(

    Von Tom L., vor fast 2 Jahren
  5. Giuliano test

    @Aschwariya:
    Viellicht hilft dir dieses Video weiter:
    http://www.sofatutor.com/mathematik/videos/terme-mit-mehreren-variablen-umformen-uebung

    Von Giuliano Murgo, vor etwa 2 Jahren
  6. Default

    ich habe die aufgaben mit mehr brüchen. =(

    Von Aschwariya, vor etwa 2 Jahren
  7. Default

    das komplette erklären ist sehr sehr gut,danke dafür

    Von Bsager59, vor fast 3 Jahren
  8. Default

    Ein netter Spruch zum merken " Aus Summen kürzen nur die Dummen"

    Von Ludwig, vor etwa 3 Jahren
  9. Default

    Danke für die gute Erklärung, vielleicht sogar etwas zu viel.Aber ich schaue gerne Videos von dir.

    Von Kotroli, vor mehr als 3 Jahren
  10. Default

    Könnt ihr vielleicht mal ne app machen?

    Von Julius Schlosser, vor mehr als 3 Jahren
  11. Default

    Finde es auch super, habe das Basiswissen nicht, danke für's komplett erklären! Ich schaue gern Videos von dir.

    Von Timfreed, vor fast 5 Jahren
  12. Default

    Manchmal ist aber auch weniger eben weniger....

    Martin, es ist sehr nützlich, dass du jedes einzelne Schritt erklärst, nichts überspringst und auf jeden Begriff eingehst. Nur so macht es Sinn!

    Von Gennadij, vor mehr als 5 Jahren
  13. Default

    Weniger ist manchmal Mehr... Danke trotzdem ;)

    Von Soft Creat R, vor fast 6 Jahren
  14. Imga0429

    super vielen dank!

    Von Susu321, vor etwa 6 Jahren
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