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Transkript Binomische Formeln – schwierigere Beispiele

Hallo und herzlich willkommen zu einem Video über die binomischen Formeln. Insbesondere geht es in diesem Video um das vereinfachen von Ausdrücken mithilfe der binomischen Formeln. Wir gehen heute also den umgekehrten Weg. Es geht nicht unbedingt darum a+b ins Quadrat auszurechnen, sondern es geht darum, zum Beispiel a²+4a+4 also binomische Formel zu erkennen. Das wäre natürlich (a+2)². Dieses erkennen von binomischen Formeln bereitet vielen Schülern Schwierigkeiten, vor allem, wenn statt a und b plötzlich v und w oder irgendwelche anderen Buchstaben benutzt werden. Dabei ist das alles nicht so schwer. Die zuverlässige Erkennung binomischer Formeln erlernt man nur durch Übung. Das heißt, du wirst nicht nur, weil du dieses Video gesehen hast, plötzlich alle binomischen Formeln erkennen. Es ist sehr wichtig, gerade bei diesem Thema, einfach Unmengen von Aufgaben zu lösen. Das erkennen von Formeln beruht nämlich auf Mustererkennung im Gehirn. Und eben genau das muss geübt werden. Zunächst möchte ich die binomischen Formeln noch mal hinschreiben. Die Erste: a²+2ab+b²=(a+b)². Die Zweite: a²+2ab+b²=(a-b)². Und die Dritte: a²-b²=(a-b)×(a+b). Du hast sicher gleich erkannt, dass ich die binomischen Formeln anders herum aufgeschrieben habe, als du es vielleicht gelernt hast. Das ist natürlich Absicht und soll der Erkennung helfen. Es geht nämlich darum, die linke Seite zu sehen. Der Rest ist dann nur Einsetzen und Kürzen. Außerdem werde ich dir eine Checkliste geben, nach der du immer vorgehen kannst, wenn du Terme vereinfachen möchtest. 1. Schauen, ob etwas ausgeklammert und gekürzt werden kann. 2. Binomische Formeln suchen und entscheiden, ob sie dir nützen. 3. Hauptnenner bilden. 4. Ausmultiplizieren. Und dann wieder mit Punkt 1 anfangen, falls du noch nicht fertig bist. Sehen lernen, heißt üben. Deshalb verlieren wir keine Zeit und legen direkt mal mit 2 Beispielen los. Beispiel 1, der Term lautet folgendermaßen: 2u+v/u-v=u²-v²/-4u-2v. Das ist der Term. Gehen wir einfach mal die Checkliste durch. 1. Schauen, ob etwas ausgeklammert oder gekürzt werden kann. Okay, auf der linken Seite geht noch nicht so viel. Auf der rechten Seite, oben nichts, aber unten, sehen wir, dass wenn wir hier -2 ausklammern, dann steht da ja -2×2u+v. Und links oben steht auch 2u+v. Das können wir dann schon mal kürzen. Genau das machen wir jetzt mal. Dann steht da: 2u+v/u-v×u²-v²/-2(2u+v). Und jetzt können wir das 2u+v kürzen. Dann steht da: u²-v²/-2u-v. Dann gehen wir mal wieder in die Checkliste. Kürzen können wir jetzt nichts mehr, haben wir ja jetzt bereits getan. Also schauen wir uns Punkt 2 an. Binomische Formeln suchen. Naja, oben steht eine 3. Binomische Formel. Jetzt überlegen wir kurz, ob uns das überhaupt was bringt, diese auch anzuwenden. Oben würde nach der Anwendung ja dann u-v×u+v stehen. Und unten -2u-v. Wunderbar, dann können wir ein u-v kürzen. Also machen wir das. (u-v)×(u+v)/-2(u-v). Und nach dem Kürzen bleibt stehen, -u+v/2. Und das kann man offensichtlich nicht weiter vereinfachen und damit sind wir fertig. So, das war jetzt ein relativ leichtes Beispiel. Jetzt kommt noch ein richtiges. Und zwar, der Term lautet: p/m×(m+5p/m-5p-m-5p/m+5p) und jetzt ein großes geteilt durch Zeichen, (1+m4/25m²p²-m4). Das ist also der Term. Gehen wir unsere Checkliste durch. Links sehen wir, können wir nicht besonders viel ausklammern oder kürzen. Aber rechts unten sieht man, dass man m² ausklammern kann und das gleich mit dem oberen kürzen. Also lassen wir das links einfach komplett stehen und rechts schreiben wir dann: 1+m²/25p²-m². Ich hab jetzt gleich ein m² gekürzt. Okay, gehen wir die Checkliste weiter. Kürzen können wir nichts mehr. Der 2. Punkt ist Binomische Formeln suchen. Links erkenne ich jetzt keine. Rechts erkenne ich nur unten eine, und zwar steht da ja 25p²-m². Das sieht sehr stark nach der 3. Binomischen Formel aus. Wenn wir diese anwenden, würde da stehen 5p-m×5p+m. Bringt uns das was? Im Moment ist das noch nicht ersichtlich, aber ich denke, das bringt was, weil links auch lauter Terme mit 5p+m und so eine Geschichte vorkommt. Das heißt, es ist sinvoll, alle Möglichen Terme auch in diese Form zu bringen. Deswegen lassen wir die linke Seite wieder unberührt und schreiben für die rechte: 1+m²/(5p-m)×(5p+m). So, jetzt haben wir die ersten 2 Punkte schon abgeklappert. Irgendwo geht da jetzt nichts mehr weiter. Aber der 32. Punkt lautet ja, Hauptnenner bilden. Wir haben links 2 Brüche und wir haben rechts eine Zahl und einen Bruch. Eine Zahl ist ja ein Spezialfall eines Bruches. Also bilden wir mal auf beiden Seiten Hauptnenner. Wie bildet man Hauptnenner? Wir multiplizieren einfach die Nenner miteinander. Und oben multiplizieren wir immer mit dem Nenner des anderen Bruchs. Also steht unten: (m-5p)×(m+5p) und oben: (m+5p)²-(m-5p)². Jetzt kommt das große geteilt durch und dann die große Klammer, geteilt durch (5p-m)×(5p+m). (5p-m)×(5p+m)+m². Jetzt schauen wir, ob wieder Punkt 1 geht. Punkt 1 ist Ausklammern und Kürzen. So, auf der linken Seite können wir nicht besonders viel ausklammern oder kürzen. Auf der rechten Seite auch nicht. Aber was können wir? Wir können beide Seiten miteinander verbinden. Also auf der linken Seite steht ja im Nenner (m-5p)×(m+5p) und auf der rechten Seite steht im Nenner (5p-m)×(5p+m). Das ist, bis auf ein Vorzeichen, genau das Gleiche. Das heißt, wir können rechts unten eine -1 ausklammern und dann können wir, da ja ein großes geteilt durch zwischen den beiden großen Klammern steht, beide Nenner kürzen. Außerdem schreib ich gleich den Zähler des rechten Bruchs, in den Nenner des 1. Bruchs. Das kann ich machen, weil zwischen den beiden großen Brüchen ein geteilt durch steht. Also steht da: p/m×-1, das -1 kommt daher, weil ich auf der rechten unteren Seite eine -1 ausgeklammert habe, dann große Klammer auf: (m+5p)²-(m-5p)² und unten: (5p-m)×(5p+m)+m². Du siehst, dass unten jetzt der Zähler des 2. Bruchs steht und das geteilt durch, das große, verschwunden ist.  So, jetzt gehen wir wieder in unsere Checkliste. Ausklammern und Kürzen geht nicht. Bei Punkt 2, Binomische Formeln, müssen wir ein bisschen genauer hinschauen. Im Zähler steht nämlich eine 3. Binomische Formel. Als alternativen Weg könnte man nun auch ausmultiplizieren. Da wir aber die Binomischen Formeln üben wollen, wählen wir aus der Checkliste Punkt 2 aus. Bei der 3. Binomischen Formel im Zähler spielen jetzt die gesamten Klammern die Rolle von a und b. Ich schreib sie mal hin, dann wird das gleich klar. -p/m(m+5p-m+5p), das ist die Differenz der Klammern, ×(m+5p+m-5p), das ist die Summe der beiden Klammern. Genbau so funktioniert ja die 3. Binomische Formel. Unten können wir leider nur Punkt 4 der Checkliste anwenden. Wir können, wegen dem m², nichts kürzen und binomische Formeln können wir auch keine generieren. Deshalb bleibt für unten nur noch ausmultiplizieren. 25p²-m²+m². Das Ganze fassen wir nun noch zusammen. Ist gleich -p/m, Klammer auf, in der linken Klammer kürzt sich das m weg und es bleibt ein 10p. Und in der rechten Klammer kürzt sich das 5p weg und es bleibt ein 2m. Unten bleibt offensichtlich ein 25p² stehen. Jetzt können wir noch nach Herzenslust kürzen. Unten steht ein m und oben steht ein m. Das m verschwindet also. Unten steht ein p² und oben steht ein p². Auch das p verschwindet also. Oben steht 20 und unten 25, das können wir beides durch 5 teilen und übrig bleibt, mit dem Minuszeichen, -4/5. Und damit sind wir fertig. Zur Erinnerung möchte ich dir noch mal die Checkliste zur Hand geben. 1. Schauen ob was ausgeklammert und direkt gekürzt werden kann. 2. Binomische Formeln suchen und entscheiden, ob sie uns nützen. 3. Hauptnenner bilden und 4. Ausmultiplizieren. Das Ausmultiplizieren würde ich nur im Notfall machen, falls nichts anderes geht. Und dann wider mit Punkt 1 anfangen. Damit bedanke ich mich und bis zum nächsten Mal, tschau.

Informationen zum Video
3 Kommentare
  1. Default

    Nicht gut dargestellt. Der rote Faden verliert sich. Video wirkt auch etwas unsicher. Rechenschritte sollten nachvollziehbarer sein mit mehr Querverbindungen.

    Von Nicola Pollack, vor 3 Monaten
  2. Image

    Is so @ Larissa & Alina M.

    Von Phillip S., vor etwa einem Jahr
  3. Havaneser1

    voll kompliziert :)

    Von Larissa & Alina M., vor fast 2 Jahren