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Transkript Binomialverteilung – Verteilungsfunktion, Erwartungswert, Standardabweichung und Varianz

Hallo, in diesem Film zeige ich kurz die Verteilungsfunktion, die Varianz, die Standardabweichung  und den Erwartungswert einer Binomialverteilung. Allgemein ist eine Verteilungsfunktion so definiert: Das ist die Funktion F von klein x, groß F von klein x, die ist definiert als P von X kleiner gleich x, großes P, großes X, kleines x. Groß X ist eine Zufallsgröße. Das ist dann hier die Summe über alle xi kleiner gleich x von p von xi. Das ist ein kleines p, kleines xi, kleines xi, kleines x. p von xi ist die Wahrscheinlichkeit des Wertes xi und manchmal steht da auch ein kleines f. Die Bezeichnungen sind da halt ein bisschen unterschiedlich. Wenden wir das nun auf eine Binomialverteilung an. Hier ist eine Binomialverteilung, ganz allgemein. Dann können wir zum Beispiel den Wert 3,5 für x einsetzen, hier, und können die Verteilungsfunktion bei 3,5 bestimmen. Dazu müssen wir die Ergebnisse dieser Terme hier addieren. Und zwar die Ergebnisse der Terme, wenn wir hier für k natürliche Zahlen < 3,5 einsetzen. Hier steht zwar kleiner gleich, aber eine natürliche Zahl ist ja nicht 3,5. Deshalb kann man hier auch kleiner schreiben. So, und wenn man das jetzt konkret nachrechnet, dann muss man das machen, das habe ich hier mal aufgeschrieben, schreib ich jetzt nicht noch mal extra auf die Tafel, ich denke das ist auch so sichtbar, wenn du das also nochmal einzeln nachrechnen möchtest. Hier sind halt die natürlichen Zahlen 0,1, 2, 3 eingesetzt worden. Wenn dir das zu viele Zeichen sind: Es geht letztlich darum, die Wahrscheinlichkeiten, die durch die  Binomialverteilung den natürlichen Zahlen, die kleiner als 3,5 sind, zugeordnet werden zu addieren. Wenn wir für x 3 einsetzen, erhalten wir den gleichen Wert, und wenn wir 2,99 einsetzen, dann müssten wir zur Berechnung des Wertes der Verteilungsfunktion an der Stelle 2,99 diesen letzten Summanden hier einfach weglassen. Wenn x, klein x, größer als n ist, dann ist der Funktionswert der Verteilungsfunktion an dieser Stelle gleich 1. Ich möchte das kurz an einer konkreten Binomialverteilung zeigen. Und zwar die Binomialverteilung, die entsteht, wenn man für n 7 und für p 0,5 einsetzt. Hier habe ich grafisch schon einmal die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer solchen Binomialverteilung. Das ist nicht die Verteilungsfunktion, wie gesagt, das ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung. Die Verteilungsfunktion entsteht hier. Der Wert von 0 bis vor 1 ist ziemlich klein, sag ich mal so groß ungefähr. Danach wird es etwas größer, dann kommt, hier sieht man das vielleicht, ein bisschen mehr Wahrscheinlichkeit dazu. So. Und dann ist ab 7 die Verteilungsfunktion gleich 1. So kann man sich das ungefähr vorstellen. Eine stückweise konstante Funktion. Der Erwartungswert einer Binomialverteilung ist μ=n×p. Das ist der kleine griechische Buchstabe μ. Das ist schön einfach, der Beweis besteht aus Termumformungen. Das zeig ich das hier an dieser Stelle nicht. Ich möchte das kurz zeigen, wie man das intuitiv begreifen kann, und zwar am Beispiel die Binomialverteilung für n=50 und p=0,5, dann ist μ=25, das ist also hier, da ist der Erwartungswert. Wir wissen ja, dass wir uns den Erwartungswert als Schwerpunkt vorstellen können, genauer gesagt, wenn wir davon ausgehen, dass diese roten Balken hier alle ein Gewicht haben, dann befindet sich der Schwerpunkt des gesamten Systems genau über dem Erwartungswert. Also, wenn man das hier halten würde, dann ist es in der Waage, und wenn man das da hält, dann ist es nicht in der Waage. Das ist ja fast schon trivial. Dann fehlt noch die Varianz und die Standardabweichung. Die Varianz σ²=n×p×(1-p) oder oft schreibt man ja statt (1-p) auch q, kann man auch machen. Das ist die Varianz σ². Die Standardabweichung ist die Wurzel aus der Varianz. So und da ist sie. Wollte ich nur kurz gesagt haben, ohne weitere Erklärung. Standardabweichung und Varianz ist ein Streumaß, kann man am Besten an Beispielen sehen, meiner Meinung nach. Viel Spaß damit, tschüss.

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