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Transkript Binomialverteilung – Übungen

Hi, dieses Video soll der Übung von Binomialverteilungen dienen. Das heißt, vorher möglichst erst mein erklärendes Video sehen, denn hier wird fast nichts erklärt, und die Pausetaste verwenden, damit ihr selbst rechnen könnt. So, alles klar, fangen wir gleich einmal an! Aus einer Urne mit 10 weißen und 15 schwarzen Kugeln wird 5-mal mit Zurücklegen gezogen. a) Es sind genau 3 weiße Kugeln unter den gezogenen. b) Mehr als die Hälfte der Kugeln ist weiß. Und: c) (Achtung, die Aufgabe wird schwer) Höchstens 1 Kugel ist schwarz. Das bedeutet auch, mindestens 4 Kugeln sind weiß. Alles klar, genug zur Aufgabe. Jetzt seid ihr dran, also klickt Pause. Na gut, dann kommen wir mal zur Lösung. Also zuerst einmal die normale Formel: P(X=k)=(n;k)×Pk×(1-P)n-k. So, zusätzlich müssen wir wissen, dass n gleich 5 ist und P gleich 0,4. Also P ist die Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel zu ziehen. So, in a) sind aus den 5 Kugeln, also n gleich 5, 3 Kugeln weiß, deswegen k gleich 3. Also sind P(X=3)=(5;3)×0,43×0,62. Und das sind gleich 0,23. Wenn mehr als die Hälfte der Kugeln weiß sein müssen, bedeutet das, dass mindestens 3 Kugeln weiß sein müssen, also 3, 4 oder 5. P(X=3) kennen wir ja schon. Nun berechnen wir also noch P(X=4) und P(X=5). Die Werte jetzt noch an der richtigen Stelle einsetzen und das Ergebnis lautet ungefähr 0,317. In c) dürfen wir höchstens 1 schwarze Kugel ziehen. Damit ich die Formel nicht umstellen muss, schreibe ich einfach mindestens 4 weiße hin, also k≥4. Wenn wir uns jetzt die Wahrscheinlichkeiten von P(X=0) bis P(X=5) ansehen, dann wissen wir ja, dass die Summe von P(X=4) und P(X=5) P(X≥4) wären. Das könnt ihr natürlich dann auch so ausrechnen. Aber ich mache mir die Sache ein bisschen leichter. Ich weiß ja, dass P(X=3)+P(X=4)+P(X=5) P(X≥3) ist und das haben wir schon berechnet. Und die Wahrscheinlichkeit, mehr als 3 Kugeln zu ziehen ohne die Wahrscheinlichkeit, 3 Kugeln zu ziehen, also -P(X=3), ist gleich der Wahrscheinlichkeit mehr oder gleich 4 Kugeln zu ziehen. Und da wir P(X≥3) in b) berechnet haben und P(X=3) in a), kann ich die Werte einfach übernehmen.   Alles klar, kommen wir zur nächsten Aufgabe. Ein Glücksrad ist in 4 Teile aufgeteilt: Blau, Rot, Grün, Schwarz. Jeder Teil ist doppelt so groß wie der vorherige. Das heißt: Rot ist doppelt do groß wie Blau, Grün ist doppelt so groß wie Rot und Schwarz ist doppelt so groß wie Grün. Finde die Wahrscheinlichkeit für: a) Bei 10 Drehungen bleibt das Glücksrad genau 4-mal auf Blau. b) Bei 20 Drehungen bleibt es höchstens 2-mal auf Blau. Und: c) (Achtung, die ist jetzt wirklich knifflig) Bei 30 Drehungen kommt mindestens 2-mal Schwarz vor. So, wenn ihr jetzt noch etwas Hilfe braucht, kann euch noch einen Tipp geben, ansonsten auf Pause drücken und selbst rechnen. Okay, hier mein Tipp: Wenn wir das Glücksrad aufknacken würden, hätten wir genau 1 Teil, der blau ist, doppelt so viele rote Teile, also 2. Also stellt euch vor, wir packen das Glücksrad und knacken das so auf. Dann hätten wir noch 4 grüne und 8 schwarze Teile. Insgesamt hätte das Glücksrad also 15 Sektoren oder Teile. So, ich hoffe das reicht als Tipp. Wenn ihr jetzt noch nicht gerechnet habt, dann bitte versucht es jetzt. Aufgabe a) ist ja noch relativ einfach: n=10, k=4 und die Wahrscheinlichkeit, auf dem blauen Sektor zu landen ist ja 1/15, also 1 Teil, das blau ist von 15 Teilen insgesamt. Als Lösung erhalten wir 0,00274. Die Wahrscheinlichkeit ist also gering, auf Blau 4-mal zu landen von 10 Zügen. So, Aufgabe b): n=20, wir haben 20 Drehungen und k≤2. An der Wahrscheinlichkeit ändert sich nicht viel. P(X=0) sind ungefähr 25 %, P(X=1) sind gleich 0,36 und P(X=2) sind gleich 0,24. Jetzt noch zusammenaddieren, dann erhalten wir 0,85 oder auch 85 %. Okay, und jetzt kommen wir zu c), das wird jetzt etwas schwer. Wir haben also n=30, k≤2 und ganz wichtig: Die Wahrscheinlichkeit ändert sich. Denn die Wahrscheinlichkeit auf den schwarzen Sektor zu treffen sind 8/15, also 8 Teile von insgesamt 15. Okay, natürlich könnten wir jetzt die Summe von P(X=2) bis P(X=30) berechnen, die Gegenwahrscheinlichkeit dazu, dass er auf den schwarzen Sektor 2-mal, 3-mal oder 30-mal trifft, wäre ja, dass er gar nicht oder 1-mal trifft. Aber wir dürfen jetzt nicht P(X=0) und P(X=1) aus Aufgabe b) nehmen, weil sich ja die ganze Formel geändert hat. Wenn wir jetzt P(X=0) ausrechnen, also die Wahrscheinlichkeit, dass er von 30 Drehungen nicht 1-mal auf den größten Sektor trifft, dann erhalten wir einen Wert, der so klein ist - ich glaube, es waren 32 Nullen und man rundet eigentlich ungefähr nach 3 -, dass er überhaupt nicht mehr relevant ist. Und die Wahrscheinlichkeit, nach 30 Drehungen auch nur 1-mal beziehungsweise genau 1-mal auf dem schwarzen Feld zu landen, ist auch fast 0. die Gegenwahrscheinlichkeit dazu, also die Wahrscheinlichkeit, mindestens 2-mal auf Schwarz zu landen, ist somit 0,999... und somit fast gleich 1. Also wenn ihr 30-mal dieses Glücksrad dreht, dann ist es fast unmöglich, dass ihr weniger als 2-mal auf Schwarz kommt. Ihr werdet ganz sicher mehr als 2-mal auf Schwarz kommen.

So, kommen wir zur letzten Aufgabe: Ein Schütze schießt 10-mal auf ein Ziel. Er trifft mit einer Wahrscheinlichkeit von 60 %. Berechne den Erwartungswert und die Wahrscheinlichkeit, dass genau dieser Wert eintritt. Den Erwartungswert berechnen wir einfach n×P, also 10 Schüsse mal der jeweiligen Wahrscheinlichkeit 0,6. Also wird er erwartungsmäßig 6-mal treffen. Diese vereinfachte Erwartungswert-Formel dürfen wir aber nur verwenden, weil es sich hierbei um eine Binomialverteilung handelt. Sonst müsst ihr die andere Formel nehmen. Die andere Formel ist in jedem Fall auch richtig, diese hier ist nur etwas einfacher. So, und zu guter Letzt haben wir also n=10, k=6 und die Wahrscheinlichkeit von 60 %. Also berechnen wir P(X=6)=(10;6)×0,66×0,44. Und das sind gleich 25 %. Schon ein bisschen merkwürdig, oder? Der Erwartungswert tritt nur mit einer Wahrscheinlichkeit von nur 25 % auf. Aber so ist das eben.      

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5 Kommentare
  1. Printimage

    Hi Hise,

    ja du hast recht, der Fehler wurde behoben. Danke für deine Aufmerksamkeit =)

    Von Steph Richter, vor etwa 4 Jahren
  2. Default

    Hallo Steph, ich verstehe die Aufgabe zum Verständnis nach dem Video nicht - oder steh auf irgendeiner Leitung:
    n = 2, k = 2, p = 5/6 (es wären ja die Würfelergebnisse 2, 3, 4, 5 und 6 ein Treffer). Mein Ergebnis ist somit 25/36 - und das entspricht auch mehreren Würfel-Versuchen,-)
    Danke im Voraus für Aufklärung!

    Von Hise, vor etwa 4 Jahren
  3. Bild 6

    Hallo Stephan, füg doch an geeigneter Stellen einen Zeitleistenkommentar ein um den Fehler für alle sichtbar zu korrigieren.

    Gruß, Andreas

    Von Andreas Spading, vor mehr als 6 Jahren
  4. Printimage

    Hi,

    danke für die Aufmerksamkeit, zu meiner Verteidigung (das war mein erstes Video im Sofatutorstil).
    Dort müsste 0,4 = 10/25 stehen

    Von Steph Richter, vor mehr als 6 Jahren
  5. Default

    Hi,

    bist Du sicher, das 0.4 = 10/15 ??

    Danke im vorraus für die Aufklärung.

    Von Omega05, vor mehr als 6 Jahren