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Transkript Binomialverteilung – Standardabweichung anschaulich

Hallo! Die Standardabweichung einer Binomialverteilung ist σ=\sqrt(n×p×(1-p)). Statt 1-p schreibt man auch öfter q. Es soll im Folgenden p=0,5 sein und dann ergibt sich für n=7. Die Standardabweichung: \sqrt(7×0,5×0,5)≈1,323. Bei n=20 bekommen wir eine Standardabweichung σ von \sqrt(20×0,5×0,5) und das ist ungefähr 2,236. Wenn n größer wird, wird die Standardabweichung auch größer, denn außer n verändert sich ja nichts. Noch 2 Werte dazu: Für n=50 und p weiterhin 0,5 haben wir eine Standardabweichung von circa 3,54. Bei n=100 ist die Standardabweichung exakt 5. Das kann man an diesen Grafiken, die du hier auf dem Tisch siehst, auch ganz gut erkennen. Hier ist die Binomialverteilung für p=0,5 und n=7. Die ist relativ schmal. Hier ist die Binomialverteilung für n=20, für n=50 und für n=100. Wie du siehst: Das wird immer breiter. Nun haben wir aber gelernt, dass die relative Häufigkeit der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit, in diesem Fall also 0,5, mit zunehmendem n immer näher kommt und nicht immer mehr davon abweicht. Wie passt das zusammen? Betrachten wir für jede der vorliegenden Verteilungen den Bereich, in dem fast die gesamte Wahrscheinlichkeit liegt. Und ich sage hier bewusst "fast", um nicht zu kompliziert reden zu müssen. Wenn also eine Münze 7-mal, 20-mal, 50-mal und 100-mal geworfen wird, und wir zählen, wie oft die Zahl oben liegt, dann liegen die absoluten Häufigkeiten, auf die fast die gesamte Wahrscheinlichkeit entfällt, in immer breiter werdenden Bereichen. Bildet man relative Häufigkeiten, vergleicht man absolute Häufigkeiten mit der Gesamtzahl der Versuche. Hier, diese absoluten Häufigkeiten mit der Gesamtzahl dieser Versuche, und hier, diese absoluten Häufigkeiten mit der Gesamtzahl dieser Versuche. Und jetzt kannst du sehen, dass der Bereich, auf den fast die gesamte Wahrscheinlichkeit entfällt, im Verhältnis zur Anzahl der Versuche immer kleiner wird. Hier, bei 7 Versuchen ist überall etwas rotes zu finden. Bei 20 Versuchen, hier, haben wir schon Bereiche, deren Wahrscheinlichkeit so gering ist, dass ich sie nicht mehr einzeichnen konnte. Hier würde ich sagen: Bei 20 Versuchen ist fast die gesamte Wahrscheinlichkeit auf der Hälfte des Bereiches. Also das ist ein Viertel und das ist ein Viertel und hier ist die Hälfte, würde ich sagen. Bei n=50 ist dieser Bereich nur noch ein Drittel. 1 Drittel, 2 Drittel, 3 Drittel, und auf einem Drittel ist fast die gesamte Wahrscheinlichkeit. Bei n=100 ist es noch extremer. Ich würde mal sagen: ein Fünftel, 2 Fünftel, 3 Fünftel, 4 Fünftel, 5 Fünftel. Fast die gesamte Wahrscheinlichkeit ist auf einem Fünftel aller möglichen absoluten Häufigkeiten zu finden. Obwohl dieser Bereich bei n=100 breiter ist als zum Beispiel dieser Bereich bei n=20, sind die relativen Häufigkeiten, die man hier ausrechnen kann, näher bei 0,5, als die relativen Häufigkeiten, die man hier ausrechnen kann. Und so ist es also zu verstehen, dass trotz größer werdender Streuung, trotz Verbreiterung fast der gesamten Wahrscheinlichkeit, trotzdem die relative Häufigkeit mit zunehmender Versuchsanzahl, also mit größer werdendem n immer näher zur tatsächlich zugrunde liegenden Wahrscheinlichkeit von 0,5 konvergiert. Viel Spaß damit. Tschüss.

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3 Kommentare
  1. Img 5132

    Super, vielen vielen Dank! :)

    Von Lara Haus, vor fast 2 Jahren
  2. Giuliano test

    @Lara Haus:
    Konvergieren beutetet übersetzt etwa Annäherung. Der Satz am Ende ist noch mal eine Zusammenfassung:
    Trotz der Verbreitung der gesamten Wahrscheinlichkeit (Vergrößerung der Standardabweichung) konvergiert (nähert sich an) die relative Häufigkeit mit größer werdendem n immer näher zur tatsächlichen zugrundeliegenden Wahrscheinlichkeit von 0,5.
    Nochmal mit anderen Worten: Je größer die Anzahl der Versuche, desto größer ist die Standardabweichung. Trotzdem nähert sich die relative Häufigkeit bei größer werdendem n immer mehr an die tatsächliche Wahrscheinlichkeit an.
    Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.

    Von Giuliano Murgo, vor fast 2 Jahren
  3. Img 5132

    doofe Frage was heißt konvergieren? :) sonst ist das Video wie immer super

    Von Lara Haus, vor fast 2 Jahren