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Transkript Binomialverteilung – Binomialkoeffizient

Hallo, hier ist eine Binominalverteilung, genauer gesagt, die Funktion P ist die Binominalverteilung und hier kommt der Term n über k vor. Und ich möchte jetzt einmal erklären, warum da n über k steht. Man kann n über k einmal sehen als die Anzahl der n-Tupel mit k-Einsen, falls die n-Tupel nur 1 und 0 enthalten dürfen oder falls du in Baumdiagrammen denkst, gibt es, wenn es um eine Bernoulli-Kette mit n-Stufen geht, n über k Pfade, mit genau k-Einsen. Warum n über k? Das möchte ich an einem einfachen Beispiel zeigen. Diese ganze Situation hier, wenn wir das klären wollen, läuft auf die Frage hinaus, wie viele Möglichkeiten gibt es, k-Einsen auf n-Positionen zu verteilen. Und interessanterweise ist es einfacher, sich zunächst verschiedenfarbige Einsen vorzustellen, die man auf die Positionen verteilt und hinterher wird dann das Ergebnis noch etwas angepasst. Ich möchte es hier an dem einfachen Beispiel zeigen, wir haben 5 Positionen und möchten 3 verschiedenfarbige Einsen auf diese Positionen verteilen und die Frage ist, wie viele Möglichkeiten gibt es dafür. Ich kann die rote 1 auf eine dieser 5 Positionen verteilen, z.B. hierhin. Nun habe ich für jede Möglichkeit, die rote 1 irgendwo hinzulegen, 4 weitere Möglichkeiten, die gelbe 1 irgendwo hinzulegen, z.B. hier. Für jede Möglichkeit gibt es 3 weitere Möglichkeiten für die blaue 1, z.B. könnt ihr sie hier hinlegen. Wenn man das jetzt mal aufschreibt, wie viele Möglichkeiten das sind, glaube ich sind wir uns einig. Es sind 5 für die rote 1, dann für jede dieser Möglichkeit 4 weitere für die gelbe 1 und dann noch jeweils 3 weitere Möglichkeiten für die blaue 1. Also 5×4×3. Es ist aber auch völlig egal, ob man mit Rot, mit Blau oder mit Gelb anfängt. Das kann man auch auch anders schreiben. Das schreibt man deshalb anders, weil man sonst bei großen Zahlen, die man vielleicht verwenden möchte, ziemlich viel zu schreiben hat. Das, was hier steht, bezeichnet man auch als 5-Fakultät geteilt durch 5-3-Fakultät. Das ! hier steht für Fakultät. 5! bedeutet 5×4×3×2×1, entsprechend 4! bedeutet 4×3×2×1, 3! ist 3×2×1 und hier (5-3)! ist, muss man erst 5-3 rechnen, also 2! ist 2×1. Wenn mal also 5! durch 2! teilt, bleibt, wenn man dann entsprechend kürzt, also 5×4×3 übrig. Wenn wir das so ausrechnen, dann stimmt das aber nicht ganz, denn wir haben ja die Belegung der Positionen 2, 4 und 5 mehrmals gezählt. Denn, wir haben diese Belegung gezählt, und diese hier, und diese hier, und diese hier. Es geht hierbei in der Binominalverteilung natürlich nicht um verschiedenfarbige Einsen und deshalb müssen wir das Ergebnis noch so anpassen, dass wir also diese zu viel gerechneten Möglichkeiten irgendwie wieder rausrechnen. Wenn jede Belegung der Positionen 2, 4 und 5 mit verschiedenfarbigen Einsen mehrmals vorkommt, dann können wir einfach durch die Anzahl dieser Möglichkeiten, diese verschiedenfarbigen 1 auf diese 3 Positionen zu verteilen, teilen. Wie viele Möglichkeiten gibt es, 3 verschiedenfarbige Einsen auf 3 Positionen zu verteilen? Es gibt, ich fange jetzt mit einer anderen 1 an, für die gelbe 1 3 Möglichkeiten, die irgendwo hinzulegen, z.B. dahin. Es gibt dann weitere 2 Möglichkeiten für die rote 1, und die blaue 1 hat dann nur noch eine einzige Möglichkeit. Das waren also 3×2×1 Möglichkeiten, 3 verschiedenfarbige Einsen auf 3 Positionen zu verteilen. D.h. also, wir müssten, damit es richtig ist, hier noch durch 3×2×1 teilen. Und das, ja damit es ordentlich ist, muss das hier eben noch mal wegwischen, schreibt man dann mit den Fakultäten so: 5! geteilt durch (5-3)!×3!. Ja und das ist = 5 über 3. So ist 5 über 3 definiert. Im allgemeinen Fall funktioniert das ganz genauso, nur eben mit n und k. Da haben wir zu wenig Platz. Wir haben, wenn wir n-Positionen haben, n-Möglichkeiten, die erste 1 irgendwo hinzutun, für die zweite 1 haben wir noch n-1 Möglichkeiten, für die dritte 1 dann noch n-2 Möglichkeiten und das müssen wir k-mal machen und enden dann hier bei n-k+1. Das sind alle Möglichkeiten, k verschiedenfarbige Einsen auf n Positionen zu verteilen. Und hier sagen regelmäßig mir Leute, dass wieso +1, das stimmt doch nicht, das muss doch -k sein, hier war doch auch 5-3 gerechnet, also entsprechend n-k. Nun, was soll ich sagen, es ist nicht so. Probier es aus mit konkreten Zahlen, dann siehst du, dass man hier eben +1 rechnen muss. Es gibt viele Begründungen dazu, die aber meistens, wenn man sich jetzt darauf versteift hat, dass da die +1 nicht hin muss, dann fruchtet das meistens nicht. Ok, das sind also k-Faktoren, die jetzt aber angeben, wie viele Möglichkeiten es gibt, Einsen mit unterschiedlichen Farben auf die Positionen zu verteilen. Es gibt jetzt noch k×(k-1)×(k-2) usw. bis ×1 Möglichkeiten, die k verschiedenfarbigen Einsen anzuordnen. Und weil wir pro Belegung der Positionen ja nur einmal zählen wollen und nicht die ganzen Anordnungen der verschiedenen Farben mit dabei haben wollen, müssen wir einfach durch die Anzahl der Anordnungen teilen. Und das geht halt so. Und das schreibt man so meistens nicht auf, sondern man schreibt: n! ÷ (n-k)!, das ist das, was hier steht, das ist gleich, also der Zähler ist gleich n! ÷ (n-k)!. Und dann müssen wir diese Zahl noch durch k! teilen und das macht man, indem man einfach hier den Nenner multipliziert, ×k!. Und das hier ist die Definition für n über k. Ja und so kommt hier das n über k zustande. Viel Spaß damit, tschüss.

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1 Kommentar
  1. Pi

    nach so vielen 'n' und 'k' raucht einem ja der kopf ;)

    Von B***E96, vor mehr als 3 Jahren