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Transkript Binomialverteilung – Beispiel Schnupfen

Hallo! Hier ist eine kleine Aufgabe zum Schnupfenmedikament Hatschi. 90% der Patienten, die mit Hatschi behandelt werden, haben nach 2 Wochen keinen Schnupfen mehr. Davon gehen wir aus, woher wir das wissen, bleibt im Moment im Dunkeln. Geht ja hier nur um ne kleine Anwendungsaufgabe um die Binomialverteilung zu üben. Aufgabe a ist, wir haben 12 Patienten, und wir suchen die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nach 2 Wochen alle Patienten gesund sind. Aufgabe b ist, wir suchen die Wahrscheinlichkeit P von, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass weniger als 10 Patienten nach 2 Wochen gesund ist. Und Aufgabe c ist die Frage, ist das alles sinnvoll? Ist ja auch wichtig, sich darüber Gedanken zu machen, ob was sinnvoll ist, was man hier tut. Es soll um eine Binomialverteilung gehen, das heißt, wir gehen wieder davon aus, wir haben also einen Bernoulliversuch, der öfters ausgeführt wird, und wir definieren eine Zufallsgröße, die die Anzahl der Treffer oder Erfolge zählt. Die ist binomial verteilt, und wenn wir davon ausgehen, müssen wir uns als erstes überlegen: Haben wir denn hier einen Bernoulliversuch vorliegen? Was könnte der Bernoulliversuch sein? Nun, die Gabe des Medikamentes mit den beiden Ausgängen, wird geheilt und Patient wird nicht geheilt, das ist der Bernoulliversuch. Ist vielleicht ein bisschen komisch, die Medikamentenausgabe als Zufallsversuch zu sehen, aber letzten Endes gibt es ja bei keinem Medikament die Garantie dafür, dass man geheilt wird. Und deshalb ist das hier ein Bernoulliversuch. Wenn wir von 90% ausgehen, also 90% werden geheilt, dann können wir das als Wahrscheinlichkeit sehen. Hier steht das ja so, dass wir davon ausgehen müssen, das 90% geheilt werden. Also ist die Wahrscheinlichkeit dafür, geheilt zu werden, 0,9. Und n=12, weil in der Aufgabe von 12 Patienten die Rede war. Dann brauchen wir noch eine Zufallsgröße x, das ist die Anzahl der geheilten Patienten. Und wenn wir jetzt so weit sind, können wir auch sagen, wir gehen davon aus, dass die Zufallsgröße x binomial verteilt ist. Vielleicht musst du das noch begründen, da möchte jeder Lehrer ein bisschen was anderes hören, wie man jetzt begründen soll, dass die Zufallsgröße binomial verteilt ist. Da kann ich hier wenig zu sagen. Als Ergebnis soll auf jeden Fall rauskommen, dass wir davon ausgehen, dass X binomial verteilt ist. Dann schreiten wir zur Rechnung. Da die Zufallsgröße x binomial verteilt ist, dürfen wir diese Formel verwenden. n=12, die Erfolgswahrscheinlichkeit P=0,9, und 1-p ist dementsprechend 0,1. Wenn wir jetzt also herausfinden wollen, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass 12 Patienten geheilt werden, dann müssen wir für k 12 einsetzen, und erhalten dann 12 über 12, das ist gleich 1, übrigens, × 0,912×0,10. 0,10=1. Und da sieht man wieder, wie sinnvoll diese Definition ist, dass etwas hoch 0 gleich 1 ist, denn sonst wäre das Ganze hier irgendwie was anderes und es würde auf jeden Fall in der Praxis nicht das Richtige herauskommen. Das ist ungefähr gleich 0,2824. Das bedeutet also, dass alle Patienten geheilt werden nach 2 Wochen bei Gabe dieses Medikamentes, diese Wahrscheinlichkeit ist nicht einmal 30%. Die nächste Aufgabe b. Es geht darum, dass weniger als 10 Patienten geheilt werden. Wie kann man das machen? Nun, wir können ausrechnen: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass kein Patient geheilt wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass 1 Patient geheilt wird und wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass 2 Patienten geheilt werden, bis 9 durch. Das ist aber viel Aufwand. Wir können auch die Gegenwahrscheinlichkeit ausrechnen und dann 1 Minus die Gegenwahrscheinlichkeit bestimmen. Gegenwahrscheinlichkeit ist, es werden 10, 11 oder 12 Patienten geheilt. Das bedeutet, wir müssen also rechnen, 1 minus die Wahrscheinlichkeit dafür, dass 10 Patienten geheilt werden, minus die Wahrscheinlichkeit, dass 11 Patienten geheilt werden und minus die Wahrscheinlichkeit dafür, dass 12 Patienten geheilt werden. Dann kommen wir auf die Wahrscheinlichkeit, dass weniger als 10 Patienten nach 2 Wochen gesund sind. Hier habe ich noch kurz hingeschrieben, für dich zum Vergleich, für die Zahlen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass 11 Patienten geheilt werden und die Wahrscheinlichkeit dafür, dass 10 Patienten geheilt werden. Hier kann man natürlich noch 0,11 hinschreiben, hab ich jetzt weggelassen, weil ja 0,11 das Gleiche ist wie 0,1. Und es ergibt sich das Folgende. Das ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle 12 Patienten geheilt sind, und ich glaube, das ist die Wahrscheinlichkeit für die 11 Patienten und das für die 10 Patienten. Ich hab´s nicht in der gleichen Reihenfolge aufgeschrieben, aber wenn du das nachrechnest, dann siehst du ja, welche Zahl wozu gehört. Und jetzt kommt Aufgabe c. Ist das Ganze irgendwie sinnvoll? Nein, ist es nicht! Und zwar deshalb: Der Volksmund sagt, eine Erkältung, in dem Fall der Schnupfen, dauert mit Medikament 2 Wochen, ohne Medikament 14 Tage. Will sagen, ein Schnupfen dauert meistens 2 Wochen, oder eine Erkältung. Oder der Volksmund sagt auch, der Schnupfen kommt 3 Tage, er bleibt 3 Tage und geht 3 Tage. Wie auch immer, man könnte davon ausgehen, dass nach 2 Wochen der Schnupfen sowieso weg ist, egal ob man ein Medikament nimmt, oder nicht. Sollte es bei diesem Medikament Hatschi so sein, dass nur 90% der Patienten nach 2 Wochen keinen Schnupfen mehr haben, dann bedeutet das, 10% haben noch Schnupfen. Das muss man dann auch so interpretieren, dass mit Gabe dieses Medikamentes Hatschi weniger Patienten nach 2 Wochen keinen Schnupfen mehr haben, als ohne. Das heißt, es ist gar kein Medikament, sondern es verlängert den Schnupfen, oder macht zumindest die Heilungschancen geringer, als ohne Medikament. Das wäre natürlich völliger Quatsch, wenn man so ein Medikament ausgeben würde. Und dieses Beispiel hab ich deshalb so gewählt, vielleicht fragst du dich, „Warum erzählt er hier Beispiele, die Quatsch sind?“, ich habe das deshalb gewählt: Die Rechnung hier ist völlig richtig, und man kann damit auch die Binomialverteilung üben. Nur ist es auch wichtig, dass man, wenn man solche Sachen interpretiert, wenn man sie in einen Sachzusammenhang einordnen möchte, dass man nicht einfach sagt, „Ja gut, die Wahrscheinlichkeiten haben wir ja da. Es ist ja 90%, dass man geheilt wird. Dann ist das ja gut.“. Das reicht nicht. Man muss sich da auch ein bisschen mehr Gedanken darüber machen, und sich zum Beispiel fragen: Wie groß sind denn die Heilungschancen, wenn man kein Medikament nimmt? Und das eben ein bisschen vergleichen und einordnen. Das war es dazu. Viel Spaß damit, tschüss!

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