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Transkript Binomialverteilung – Beispiel Fußball

Hi, egal ob ihr Mathegrundkurs oder Leistungskurs seid, es führt kein Weg um die Binomialverteilung herum. Wir brauchen die Binomialverteilung bei mehreren Bernoulliversuchen, die Reihenfolge ist dabei unwichtig und das bedeutet ja auch, dass die Ereignisse unbedingt unabhängig sein müssen. So, alles klar, kommen wir einmal zur Formel. Die sogenannte Bernoulliformel oder Formel für die Binomialverteilung lautet P(x=k)=(n über k)×pk×(1-p)n-k. Sind ja schon einmal eine Menge Buchstaben, was bedeuten die denn? k steht für die Menge der gewünschten Ergebnisse, z.B. Treffer. n steht für die Anzahl aller möglichen Ergebnisse. Das bedeutet z.B. Schüsse. Wir haben also einen Fußballspieler, der auf ein Tor schießt, er hat so viele Versuche, so viele Schüsse und k-Treffer. p ist die Wahrscheinlichkeit für 1 Treffer. Also es ist die Wahrscheinlichkeit, dass k auftritt. Dass k einmal auftritt. Und das Ganze wird natürlich hoch k gesetzt. 1-p ist Gegenwahrscheinlichkeit zu p. Das bedeutet 1-p ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Fußballspieler nicht trifft. Und das Ganze passiert so häufig, n-k. Das heißt, wenn er von 10 Schüssen 4 mal trifft, dann haben wir die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer hoch 4 mal der Gegenwahrscheinlichkeit hoch 6. Gut das war jetzt alles ein bisschen theoretisch, ich zeig euch mal ein Beispiel dafür. Dann lesen wir mal folgende Aufgabe: Beim Elfmeterschießen, schießt ein Spieler 5 mal auf das Tor. Es könnten genauso gut auch 5 Spieler sein, die alle mit derselben Wahrscheinlichkeit treffen. Er trifft pro Schuss mit einer Wahrscheinlichkeit von 80%. Also p=0,8. Berechne die Wahrscheinlichkeit für genau 2 Treffer und berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er mindestens einmal trifft. Für Aufgabe a stellen wir jetzt die Formel auf. So wir hatten 5 Schüsse, also ist n=5. 2 Treffer, genau 2 Treffer, k=2. Dann ist p 80%, also 0,8 und somit ist die Gegenwahrscheinlichkeit, also die Wahrscheinlichkeit, dass er nicht trifft, 20%. Das setzen wir jetzt alles in die Formel ein. Ok. 5 über 2 könnt ihr mit dem Taschenrechner lösen oder auch mit der Formel, die aber nicht in diesem Video dran kommt. Im Taschenrechner müsst ihr 5nCr2 eingeben, da kommt 10 raus. Also 10×0,82, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er 2 mal trifft und dann müsste er ja von den 5 Schüssen 3 verfehlen. Und das Ergebnis ist ca. 0,0512. Also trifft er ungefähr mit einer Wahrscheinlichkeit von 5%, genau 2 mal von 5 Schüssen. In Teil b sollen wir berechnen, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er mindestens einmal trifft. Wir könnten jetzt jede einzelne Wahrscheinlichkeit berechnen, also die Wahrscheinlichkeit für genau 1 Treffer, die Wahrscheinlichkeit für genau 2 Treffer, genau 3, 4 oder 5 Treffer. Das würden wir dann zusammenaddieren und dann hätten wir die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer. Das ist aber relativ aufwendig. Es gibt da einen einfachen Trick. Anstatt dass wir die Summe von dem allen bilden, nehmen wir einfach die Gegenwahrscheinlichkeit. Denn die Gegenwahrscheinlichkeit dafür, dass er von 5 Schüssen mindestens einmal trifft, ist die Wahrscheinlichkeit, dass er gar nicht trifft. Aus 5 Schüssen, kein Treffer ×0,8k, also hoch 0, ×0,25. Das ergibt 1, das ergibt 1. Die Wahrscheinlichkeit, dass er 5 mal nicht trifft, ist einfach 0,25 und das wären 0,00032. Wir wollen aber die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer haben und das ist die Gegenwahrscheinlichkeit zur Gegenwahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer. D.h. das ist die Gegenwahrscheinlichkeit für 0 Treffer, also 1-0,00032. Das sind ungefähr 0,99968, also über 99%. D.h. wenn 5 mal geschossen wird, mit einer Wahrscheinlichkeit von 80% jeder Schuss, dann ist 1 Treffer zu über 99,9% sicher.

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10 Kommentare
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    Ich dachte p muss gleich sein bei jede Versuch. Beim Elfmeter schießen das ist nicht der Fall, selbst wenn die deutschen spielen.

    Von Gkellagher, vor 15 Tagen
  2. Default

    Danke!

    Von Tfaerfax, vor 9 Monaten
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    Sehr gut erklärt!! ;)

    Von Deleted User 202364, vor etwa einem Jahr
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    Vielen Dank !

    Von Susanne Andreasschindler, vor mehr als einem Jahr
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    super video! danke :)

    Von Ellasophiasee, vor fast 2 Jahren
  1. Default

    Sehr gut!

    Von Martinschalk, vor mehr als 2 Jahren
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    Ganz gut gelungen. Danke

    Von Mail 60, vor etwa 3 Jahren
  3. Default

    Besser kann man es nicht erklären!
    Danke! :)

    Von Deleted User 94754, vor etwa 3 Jahren
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    Danke für das Lob =)

    Von Steph Richter, vor mehr als 6 Jahren
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    Klasse erklärt! Danke!

    Stefan

    Von Bergutze, vor mehr als 6 Jahren
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