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Transkript Binomialverteilung – Beispiel Bar

Die Binomialverteilung. Bevor man auf die Binomialverteilung eingehen kann, muss man allerdings auf den Bernoulli-Versuch zu sprechen kommen. Mit ihm beginnt alles. Es gibt 2 Ereignisse. Die Ereignisse 0 und 1. Also P(x=0) und P(x=1). P das (x=1) ist p. P das (x=0) ist gleich 1-p, also q. Was bedeutet das? Es gibt einen Wirt, der Wirt hat einen Gast. Nennen wir den Gast Paul. Es passiert etwas. Paul trinkt gerne Bier. Also Paul trinkt ein Bier, beim Wirt im Wirtshaus. Das ist ein Ereignis. So, was ist p und was q? p ist die Wahrscheinlichkeit, dass Paul nach diesem Bier auf die Toilette muss. q ist die Wahrscheinlichkeit, dass er nicht auf die Toilette muss. Wir zeichnen uns eine Wahrscheinlichkeitsfunktion, f(x). Sie, oder besser gesagt ihre Balken, geben für 0 und 1 jeweils die Wahrscheinlichkeit an. Die Summe davon muss natürlich 1 sein. Warum ist das so? Na, entweder er geht nach dem Bier auf die Toilette zum Beispiel, oder nicht. Es gibt aber kein Ereignis dazwischen, nur diese beiden. Und die Wahrscheinlichkeit, dass eins der beiden passiert, muss natürlich 1 sein. In mathematischer Notation sieht das wie folgt aus: wir haben 1 Ereignis und die Wahrscheinlichkeit, dass etwas passiert: 1-p ist die Wahrscheinlichkeit dafür nichts passiert, p für 1 passiert, also er muss auf die Toilette. Und alle anderen Wahrscheinlichkeiten sind 0, denn sonst, außer diesen beiden Ereignissen, kann ja nichts passieren. Nehmen wir an, die Wahrscheinlichkeit, dass Paul auf die Toilette muss, nach diesem Bier ist 0,2. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass nichts passiert, also er nicht auf die Toilette muss, natürlich 0,8. Es lässt sich auch noch ein Erwartungswert berechnen, der ist einfach: 1×p und 0×(1-p). Das fällt natürlich weg und übrig bleibt p. Das heißt, der Erwartungswert ist einfach p, das heißt in diesem Fall 0,2. Und die Varianz bei diesem Bernoulli-Versuch ergibt sich einfach daraus: Var(x)=p×q, also 0,2×0,8, in unserem Beispiel und das ist natürlich 0,16. Nun aber endlich zur Binomialverteilung. Die Binomialverteilung ist die Aneinanderreihung mehrere Bernoulli-Versuche, also n Bernoulli-Versuche. Ganz wichtig dabei: die Versuche sind unabhängig voneinander, das heißt, die Wahrscheinlichkeiten verändern sich nicht von Versuch zu Versuch. Dann sagen wir, das X ist binomial verteilt mit n Versuchen und der Wahrscheinlichkeit p. n ist die Anzahl der Versuche, die durchgeführt werden und die Wahrscheinlichkeit p ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Versuch Ereignis 1 eintritt. Also px=1. Wieder zu unserem Beispiel: Wir haben Paul. Paul trinkt an diesem Abend 10 Biere. Wir haben die Wahrscheinlichkeit p=0,2, dass er nach einem dieser Biere auf die Toilette muss. Das Ganze ist dann binomial verteilt mit (10; 0,2). Zeichnen wir uns eine Graphik der Wahrscheinlichkeitsfunktion. Sie sieht dann ungefähr so aus. x ist in diesem Fall die Anzahl der Male, wo Paul auf der Toilette war. Nach oben abgetragen, die Stäbe, zeigen jeweils die Wahrscheinlichkeiten, die sich über den ganzen Abend bei 10 Bieren ergeben. Wir sehen für x=2, das heißt nach 10 Bieren, ist es am wahrscheinlichsten, dass er 2-mal auf der Toilette war. Dieses Szenario hört sich allerdings nicht sehr wahrscheinlich an. Deshalb ändern wir p in 0,5. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit, dass er nach einem Bier auf die Toilette muss, ist jetzt 0,5, also 50%. Damit ändern sich natürlich jeweils die Wahrscheinlichkeiten in unserem Stabdiagramm. Unser Wirt macht sich jetzt natürlich Sorgen, wie viel kosten ihn die ganzen Toilettengänge von Paul eigentlich? Und er weiß natürlich Pauls Toilettengänge sind binomial verteilt, mit n=10, weil 10 Biere und der Wahrscheinlichkeit 0,5. Damit ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, dass p(X=x), also die Wahrscheinlichkeit, dass Paul genau x-mal auf die Toilette geht, nach n Bieren, aus (n über x)×px×(1-p)n-x. Das Ganze lässt sich auch noch anders schreiben: f für die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist binomial verteilt, mit x, p und n. So und jetzt interessiert den Wirt natürlich, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass Paul genau 5 Mal auf die Toilette muss. Also x=5, p=0,5 und n=10. So, diese Zahlen setzen wir einfach in die Formel ein, also: (10 über 5)×0,5 (für p)5× (für x ist gleich) (1-0,5), also wieder 0,510-5, also 5. 10 über 5 ist nichts anderes, wie erinnern uns vielleicht an die Kombinatorik, als eine Permutation. Also n über x= die Fakultät von (n!)÷(x!×(n-x!). In unserem Fall: 10 über 5=10!÷(5!×5!). Eine Fünfer Fakultät kürzt sich natürlich weg, also haben wir: (10×9×8×7×6)÷(1×2×3×4×5)=252. Wir setzten das alles zusammen in die Gleichung, werfen alles zusammen in den Taschenrechner und berechnen die Wahrscheinlichkeit, dass Paul am Ende des Abends, 5 Mal pullern war und diese ist 0,24609≈25%. Ein anderes Beispiel noch kurz. Paul trinkt im Laufe des Abends wieder 10 Biere, die Wahrscheinlichkeit, dass er nach einem Bier auf die Toilette muss, ist 0,5. Den Wirt interessiert die Wahrscheinlichkeit, dass er 4 Mal auf die Toilette musste, nach diesem Abend. Wir setzten einfach wieder alles in unsere Formel ein und dann erhalten wir am Ende die Wahrscheinlichkeit, dass er 4 Mal auf die Toilette muss. Und zwar ist diese: ((10×9×8×7)÷(1×2×3×4))×0,54×0,56=0,2051. Und das macht ungefähr 20,51%. Kommen wir zur Verteilungsfunktion der Binomialverteilung. Wir erinnern uns: die Wahrscheinlichkeitsfunktion gibt für jeden x-Wert die Wahrscheinlichkeit an, dass er eintritt. Also zum Beispiel, dass 1, 2,3 oder 4-mal auf die Toilette musste, nach diesem Abend. Die Verteilungsfunktion dagegen gibt die kumulierten Wahrscheinlichkeiten an, also die Summe von 0,1,2,3,4. Es entsteht eine Treppenfunktion, die sich der 1 annähert, weil natürlich die Wahrscheinlichkeit insgesamt 1 sein muss. Formal ergibt sich dasselbe Bild: Das hier ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion wie vorher. Wir brauchen einfach nur die Summe von K-x der Wahrscheinlichkeit. Um dann zum Beispiel für x=3 die kommulierte Wahrscheinlichkeit zu erhalten. Das bedeutet, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit das x=0 bis 3 oder ≤ 3 ist. Das heißt, wie setzten einfach das Summenzeichen ein in die Wahrscheinlichkeitsfunktion und erhalten F der Binomialverteilung, also die Verteilungsfunktion der Binomialverteilung. Die Wahrscheinlichkeit, dass X ≤ x ist.
Für unseren Wirt scheint das Ganze ziemlich anstrengend. Er hat natürlich keinen Taschenrechner und diese ganzen Wahrscheinlichkeiten von Hand auszurechnen und dann aufsummieren, scheint ihm ziemlich anstrengend. Seine Frau weiß Hilfe. Sie rät ihm eine Verteilungstabelle zu benutzen. Wir brauchen also eine Verteilungstabelle mit dem passenden p und dem passenden x und dem passenden n. Die ist in etwa so aufgebaut meist. Und weil unser Wirt wissen will, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass Paul ≤ 5 Mal pullern muss im Laufe des Abends, suchen wir uns die passende Tabelle mit p=0,5, n=10 und x=5. In der Tabelle finden wir schließlich den Wert 0,6230. Das bedeutet das p ≤ 5, also F für die Verteilungsfunktion von 5 = 0,6230 ist, entspricht ungefähr 62,3%. Eine Sache ist noch wichtig, meint die Wirtin. Die Wahrscheinlichkeit f(5) lässt sich nämlich ebenso aus der Tabelle ablesen. Sie ist nichts anderes als F(5)-F(4). Den Wert von F(4) finden wir direkt über F(5). Also rechnen wir: 0,6230-0,3770=0,246 und das entspricht ungefähr: 24,6%. Wie vorher auch schon ausgerechnet von Hand.  Das war jetzt für den Wirt nicht besonders hilfreich. Denn ihn interessierte eigentlich, was er zu erwarten hat, das heißt, was ist der Erwartungswert von x? Die Wirtin weiß zu helfen. Wir erinnern uns: Beim Bernoulli-Versuch war der Erwartungswert von x=p, die Wahrscheinlichkeit. n war =1, 1 Versuch. Der Erwartungswert bei der Binomialverteilung ergibt sich einfach aus n×p. In unserem Beispiel also 10×0,5=5. Der Erwartungswert ist 5. Bei 5 war auch der Stab in unserem Wahrscheinlichkeitsdiagramm am größten. Hier zur Erinnerung. Genauso funktioniert das bei der Varianz. Die Varianz war beim Bernoulli-Versuch einfach p×(1-p) für n=1, 1 Versuch. Wir setzen das n einfach davor n×p×(1-p) und haben die Varianz der Binomialverteilung. In unserem Beispiel: 10×0,5×0,5, ergibt bekanntlich 2,5. Eine letzte Sache will die Wirtin noch erwähnen. Und zwar entspricht die Binomialverteilung dem Urnenmodell mit Zurücklegen. Das bedeutet, wenn wir beispielsweise drei Kugeln ziehen, dann verändern sich bei jedem Zug die Wahrscheinlichkeiten nicht, da ja immer wieder gleich viele Kugeln drin sind. Lassen wir die Kugeln allerdings draußen, handelt es sich um ein Urnenmodell ohne Zurücklegen und die Wahrscheinlichkeit nach jedem Zug verändert sich. Dies ist aber nicht die Binomialverteilung. Dieses Verhalten wird durch die Hypergeometrische Verteilung erklärt. Danke und auf Wiederhören.  

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6 Kommentare
  1. Default

    In dem Kurs "Abitur Niedersachsen Stochastik GK" ist das Video in Bezug auf die Reihenfolge eindeutig nicht sonderlich gut platziert, da in den Videos zuvor bereits auf die hier vermittelten Kenntnisse Bezug genommen wird. (Die einem womöglich bei den vorherigen Videos gefehlt haben)
    Ansonsten klasse Video !

    Von Janmoe, vor etwa 2 Jahren
  2. Giuliano test

    @Katzer Fabio:
    Meines Wissens nach gibt es kein Video dazu. Hier kannst du deinen Taschenrechner zu Hilfe nehmen. Alternativ kannst du das auch im Internet eingeben.
    Ich hoffe, dass ich helfen konnte.

    Von Giuliano Murgo, vor mehr als 2 Jahren
  3. Default

    gibt es ein Video dass erklärt wie man mit sehr Hohen Fakultäten rechnet? ZBSP: 250!

    Von Katzer Fabio, vor mehr als 2 Jahren
  4. Default

    einfach genial!!! Bitte mehr davon! :)

    Von Cuibono, vor mehr als 3 Jahren
  5. Default

    Extrem gut erklärt. Erinnert mich stark an die Sendung mit der Maus :-P

    Von Tomtom123, vor fast 4 Jahren
  1. Default

    "Der Wirt weiß natürlich, dass Pauls Toilettengänge binomialverteilt sind" :)

    Von Kein Plan, vor fast 6 Jahren
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