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Transkript Betragsfunktionen – Übung

Hallo, in diesem Video werden einige Aufgaben zu den Betragsfunktionen gestellt und gemeinsam besprochen. Zu Beginn zeichne den Graphen der Funktion f(x)= Betrag von x. Dein Graph sollte jetzt so aussehen. Als Nächstes wird die einfache Funktionsgleichung durch einige Parameter ergänzt. Anhand von Beispielen wollen wir daraus schlussfolgern, wie welche Ergänzung die Graphen verändert. Dazu die Aufgabe: Lege für folgende Funktion eine Wertetabelle im Intervall -4 bis 4 an und zeichne dann die entsprechenden Graphen. Anschließend bestimme den Scheitelpunkt der Graphen, gib an, ob sie nach oben oder unten geöffnet sind und wie groß die Steigung ist. Die Steigung kannst du mit folgender Formel berechnen: m=y1-y2/x2-x1. Achte aber darauf, dass du die Steigung zwei Mal berechnest, nämlich einmal links und einmal rechts vom Scheitelpunkt. Jetzt die Funktionsgleichungen, die du bearbeiten sollst. f(x)=Betrag von x+2 f(x)=Betrag von x-1 f(x)=Betrag von 2x und f(x)=-Betrag von x. Du solltest das Video jetzt pausieren, um die Aufgaben zu bearbeiten. Fangen wir jetzt mit der Funktion f(x)=Betrag von x+2 an. Also zuerst die Wertetabelle. Setzen wir -4 in die Gleichung ein, ergibt sich Folgendes. Der Betrag von -4=4, +2=6. Rechnet man so für alle x-Werte, sieht die ausgefüllte Wertetabelle so aus. Jetzt müssen die Punkte nur noch in ein Koordinatensystem eingetragen werden. Also erst den Punkt -4/6, dann -3/5 usw. Wenn alle Punkte eingetragen sind, kann der Graph gezeichnet werden. Dein Graph sollte jetzt so aussehen. Der Scheitelpunkt liegt bei (0/2), der Graph ist nach oben geöffnet und hat den Anstieg 1 für x > 0 und -1 für x < 0. So gehen wir jetzt auch für die weiteren Gleichungen vor. Für die Funktion f(x)=Betrag von x-1, legen wir wieder erst die Wertetabelle an. Für x=-4 rechnen wir: -4-1=-5. Von diesem Ergebnis wird der Betrag gebildet und man erhält 5. So ergeben sich die weiteren Zahlenpaare in der Wertetabelle. Jetzt zeichnen wir die Punkte wieder in ein Koordinatensystem, um so den Graphen zeichnen zu können. Wenn alle Punkte übertragen worden sind, kann der Graph gezeichnet werden. Dein Graph sollte jetzt so aussehen. Der Scheitelpunkt liegt bei (1/0). Der Graph ist nach oben geöffnet und hat den Anstieg 1 für x > 1 und -1 für x > 1. Als Nächstes die Funktion f(x)=Betrag von 2x. Für x=-4 rechnen wir: -4×2=-8 und der Betrag von -8=8. Somit ergeben sich für die Wertetabelle folgende Zahlenpaare. Diese Zahlenpaare werden wieder in ein Koordinatensystem übertragen und anschließend wird der Graph gezeichnet. Dein Graph sollte jetzt so aussehen. Der Scheitelpunkt liegt bei(0/0), der Graph ist nach oben geöffnet und hat den Anstieg 2 für x > 0 und -2 für x < 0. Als Letztes die Funktion f(x)=- Betrag von x. Wir rechnen wieder für x=-4. Also, der Betrag von -4=4. Da aber ein - vor dem Betrag steht, wird daraus wieder -4. Daraus ergeben sich diese Zahlenpaare in der Wertetabelle. Die Zahlenpaare werden wieder in das Koordinatensystem übertragen. Sind alle Punkte eingezeichnet, kann der Graph gezeichnet werden. Dein Graph sollte jetzt so aussehen. der Scheitelpunkt liegt bei (0/0). Der Graph ist nach unten geöffnet und hat den Anstieg -1 für x > 0 und 1 für x < 0. Fassen wir jetzt einmal zusammen, welche Erkenntnisse durch diese Übung gewonnen werden sollen. Wie hat sich der Graph der Funktion f(x)=Betrag von x verändert? Fangen wir mit der Gleichung f(x)=Betrag von x +2 an. Im Vergleich zu dem Graphen der Gleichung f(x)=Betrag von x ist dieser um 2 Einheiten nach oben verschoben. Der Scheitelpunkt liegt also bei (0/2). Also verschiebt eine Ergänzung außerhalb der Betragsstriche, den Graphen um den Wert dieser Zahl entlang der y-Achse. Der Graph der Funktion f(x)=Betrag von x-1 ist hingegen um die Einheit 1 entlang der x-Achse verschoben worden. Der Scheitelpunkt liegt bei (0/1). Also verschiebt eine Ergänzung innerhalb der Betragsstriche, den Graphen entlang der x-Achse um den Wert dieser Zahl, aber in entgegengesetzter Richtung zum Vorzeichen. Der Graph der Funktion f(x)=Betrag von 2x ist zwar nicht entlang der Achsen verschoben worden, sein Scheitelpunkt liegt also bei (0/0), aber er hat einen anderen Anstieg, nämlich -2 für x < 0 und 2 für x > 0. Man kann also sagen, dass eine Multiplikation mit x innerhalb der Betragstriche den Anstieg des Graphen verändert. Der Betrag des Anstiegs ist gleich dem Multiplikationsfaktor. Am Graphen der Funktion f(x)=-Betrag von x fällt auf, dass er nach unten geöffnet ist. Also bewirkt das negative Vorzeichen vor dem Betrag, dass der Graph sich nach unten öffnet. Als nächste Aufgabe versuche bitte, die Graphen einiger Funktionen zu zeichnen, aber ohne vorher eine Wertetabelle anzulegen. Zuerst die Funktion f(x)=Betrag von x+1+2. Überlege zuerst, wo der Scheitelpunkt liegt. Der Scheitelpunkt liegt bei (-1/2). Diesen Punkt zeichne jetzt ins Koordinatensystem. Jetzt überlege, wie groß die Steigung ist. Da das x mit keinem Faktor multipliziert wird, ist die Steigung 1. Zum Schluss noch die Frage, ob der Graph nach oben oder nach unten geöffnet ist. Da kein Minuszeichen vor dem Betrag steht, ist der Graph nach oben geöffnet. Mit diesen Informationen können wir nun den Graphen, ausgehend vom Scheitelpunkt, zeichnen. Genauso solltest du jetzt auch bei den anderen Funktionen vorgehen. Die Funktionen heißen: f(x)=Betrag von 2x-1 f(x)=-Betrag von 0,5x und f(x)=-Betrag von x-2+4. Pausiere jetzt bitte das Video und bearbeite die Aufgabe. Die Funktion f(x)=Betrag von 2x-1 hat den Scheitelpunkt bei (0/-1), außerdem hat sie einen Anstieg von -2 für x < 0 und 2 für x > 0. Da kein - vor dem Betrag steht, ist sie nach oben geöffnet. Also zeichnen wir erst den Scheitelpunkt ein und zeichnen vor dort aus den Graphen mit der Steigung von 2 und zwar so, dass der Graph nach oben geöffnet ist. Die Funktion f(x)=-Betrag von 0,5x hat den Scheitelpunkt (0/0). Sie ist aufgrund des - vor dem Betrag nach nten geöffnet und hat einen Betrag, der im Anstieg 0,5 ist. Mit diesen Informationen können wir auch diesen Graphen zeichnen. Die Funktion f(x)=-Betrag von x-2+4 hat ihren Scheitelpunkt bei (2/4). Durch das - vor dem Betrag ist der Graph nach unten geöffnet und er hat einen Anstieg, der im Betrag 1 ist. Vom Scheitelpunkt ausgehend können wir also den Graphen zeichnen. Er sollte so aussehen. Das waren einige Aufgaben zu Betragsfunktionen. Ich hoffe ihr hattet keine Probleme beim Lösen. Tschüss und bis zum nächsten Mal, eure Josi.

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