Betragsfunktionen 09:12 min

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Transkript Betragsfunktionen

Hallo, Thema dieses Videos sind Betragsfunktionen. Dabei werde ich zunächst den Betrag definieren. Dann werde ich erklären wie man die Graphen der Betragsfunktion, entlang der Achsen, verschiebt und wie man sie streckt und staucht. Zum Schluss werde ich noch einige Beispiele durchsprechen. Also zuerst einmal die Definition. Der Betrag einer Zahl bedeutet, dass diese Zahl immer positiv ist. Das heißt, dass der Betrag von -2=2 ist, ebenso wie der Betrag von 2=2 ist. Mathematisch wird der Betrag so definiert, das heißt, der Betrag einer Zahl ist gleich diese Zahl, solange sie ≥0 ist. Ist die Zahl aber ≤0 wird ein zusätzliches - Zeichen eingefügt, sodass die negative Zahl wieder positiv wird. Dazu ein kurzes Beispiel. Der Betrag von -2=-(-2), durch die 2 aufeinanderfolgenden - Zeichen entsteht ein positives Vorzeichen. Was bedeutet der Betrag jetzt für die Funktionsgraphen? Sehen wir uns dazu den Graphen der Funktion, f(x)=|x|, an. Durch den Betrag gibt es für y keine negativen Werte. Der Graph ist also an der y-Achse gespiegelt. Um diesen Graphen zeichnen zu können, braucht man 3 charakteristische Punkte. In diesem Fall sind das der Scheitelpunkt S mit den Koordinaten 0/0, der Punkt P1 mit den Koordinaten 1/1 und der Punkt P2 mit den Koordinaten -1/1. Sehen wir uns jetzt an wie sich diese Punkte und somit auch der gesamte Graph, entlang der Achsen verschieben lassen. Durch die Ergänzung des Parameters c, außerhalb des Betrags, wird der Graph um den Wert c entlang der y-Achse verschoben. Mathematisch kann man die Verschiebung, entlang der y-Achse, erklären, in dem man sich überlegt, dass durch die Verschiebung entlang der y-Achse, der Schnittpunkt mit dieser Achse verändert wird. Und den Schnittpunkt entlang der y-Achse errechnet man, in dem man für x=0 einsetzt. Also, y=|0|+c und zusammengefasst ergibt sich y=c. Somit hat man als neuen Schnittpunkt mit der y-Achse den Punkt S(0/c). Jetzt bleibt nur noch die Frage, wie sich die anderen angegebenen charakteristischen Punkte verändern. Sie werden, wie auch der Scheitelpunkt, in ihrem y-Wert verändert. Und zwar wird der Zählwert einfach hinzuaddiert. Also wird aus P1 mit den ursprünglichen Koordinaten (1/1), der Punkt P1(1/1+c), das gleiche gilt auch für den Punkt P2 mit den Koordinaten (-1/1), die neuen Koordinaten sind (-1/1+c). Also verändert sich von jedem Punkt der y-Wert um den Wert c. In der grafischen Darstellung verändert sich der Graph, der Ausgangsfunktion f(x)=|x|, so. Für c>0 ist der Graph, der Funktion f(x)=|x+c|, um den Wert c, in positiver Richtung entlang der y-Achse verschoben. Und für c0, wird der Graph um den Betrag von b in negativer Richtung verschoben. Jetzt möchte ich erklären, wie man den Graphen der Ausgangsfunktion, strecken und stauchen kann. Dies geschieht durch die Ergänzung des Multiplikationsfaktors a. Ist a im Betrag größer als 1, wird der Graph gestreckt und ist a im Betrag kleiner als 1, wird der Graph gestaucht. Betrachten wir jetzt wieder, wie sich die charakteristischen Punkte, der Ausgangsfunktion f(x)=|x|, verändern. Der Scheitelpunkt verändert sich nicht. Das sieht man auch mathematisch, wenn man für x=0 einsetzt. Wenn man jetzt auch die beiden anderen Punkte betrachtet, ergibt sich Folgendes: Setzen wir 1 in die Gleichung ein, ergibt sich y=a×1. Der Punkt hat also die Koordinaten 1/a×1. Setzen wir nun -1 in die Gleichung ein, ergibt sich für y=a×1. Der Punkt hat also die Koordinaten -1/a×1. Bei Funktionen der Form f(x)=a×|x|, verändern sich also die Punkte des Graphen, in dem man den y-Wert mit a multipliziert. Grafisch sehen die Graphen dann so aus: Der Scheitelpunkt bleibt bei 0/0 und die Punkte 1/1 und -1/1 werden im y-Wert, um den Faktor a, verändert. Für die a-Werte, die im Betrag größer als 1 sind, wird der Graph gestreckt. Und für die a-Werte, die im Betrag kleiner als 1 wird der Graph gestaucht. Kommen wir nun zu den Beispielen. Als 1., f(x)=|sin(x)|, im Vergleich zur normalen Sinusfunktion gibt es keine Bögen nach unten. Der Graph, der Funktion f(x)=|sin(x)|, sieht also so aus. Dieser Graph kann, wie jede normale Sinusfunktion, verändert werden. Durch den Parameter a, vor den Betrag, verändert sich die Amplitude des Graphen. Die Amplitude liegt nun bei y=a. Durch die Ergänzung f(x)=|sin(bx)| ändert sich die Periodenlänge. Als nächstes Beispiel, f(x)=|2x-1|, nach den allgemeingültigen Regeln, der Termumformung, kann man die Funktion auch so schreiben f(x)=2|x-1/2|. Errechnen wir nun den neuen Schnittpunkt mit der x-Achse, in dem wir die Gleichung 0 setzen. Also liegt der Scheitelpunkt S bei (1/2/0). Analog dazu verändern sich auch die Punkte P1 mit den Koordinaten (1/1) und P2(-1/1), um den Wert 1/2, in ihrem x Wert. Wir haben also die Punkte P1(1,5/1) und P2(-0,5/1). Anhand dieser Punkte kann der vorläufige Graph nun gezeichnet werden. Jetzt müssen wir nur noch den Faktor 2 betrachten. Wie vorher erklärt, wird der Graph dadurch gestreckt. Also müssen wir die y-Werte unserer bekannten Punkte, P1 und P2, mit dem Faktor 2 multiplizieren. Es ergeben sich also die Punkte 1,52 und -0,52. Anhand dieser Punkte kann man den Graphen, der Funktion f(x)=2|x-1/2|, zeichnen. Als letztes Beispiel f(x)=||x|-1|. Als 1. Schritt betrachten wir uns die innere Funktion g(x)=|x|-1. Der Scheitelpunkt dieser Funktion liegt bei (0/-1) und der gesamte Graph ist um den Wert -1, entlang der y-Achse, verschoben. Jetzt müssen wir nur noch die äußere Funktion f(x)=|x-1| betrachten. Alle negativen y-Werte, werden auf ihre Gegenzahlen abgebildet. Also, alles, was unter der x-Achse liegt, wird nach oben gespiegelt. Dementsprechend verändert sich der Scheitelpunkt (0/-1) zu (0/1). Zeichnen wir diesen Punkt jetzt ins Koordinatensystem ein, können wir den endgültigen Graphen zeichnen. Das war es zu den Betragfunktionen. Ich hoffe ihr habt alles verstanden und es sind keine Fragen mehr ungeklärt. Tschüss und bis bald Eure Josi.  

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1 Kommentar
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    sehr hilfreich!! Vielen Dank :)

    Von Eva 1196, vor etwa 3 Jahren