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Transkript Bestimmtes Integral und Flächeninhalt – Beispiel (5)

Hier folgt ein Beispiel zur Flächenbestimmung zwischen Graph und x-Achse mit der Funktion f(x)=(x-3)x(x²-1). Und zwar in den Grenzen von -2 bis 4. Das soll mit dem Hauptsatz funktionieren, aber den kennst du mittlerweile. Also, wenn wir die Fläche zwischen Graph und x-Achse bestimmen wollen, dann müssen wir zunächst wissen, welche Nullstellen sich zwischen den beiden Integrationsgrenzen von -2 und 4 befinden. Und dann müssen wir die einzelnen Integrale zwischen den Nullstellen bilden, deren Integrale in Beträge setzen, die Beträge addieren und dann haben wir die Gesamtfläche zwischen Graph und x-Achse. Die Nullstellen kann man hier folglicherweise ablesen, wenn man weiß, dass Produkte nur dann 0 sein können, wenn einer der Faktoren 0 ist. Wir haben hier zwei Faktoren, nämlich (x-3) und (x²-1), dabei ist (x-3) nur dann 0, wenn x=3 ist. Bei (x²-1) erinnern wir uns an die 3. binomische Formel. 1 ist auch eine Quadratzahl, also haben wir dort sozusagen (x²-1²), die beiden Nullstellen sind also 1 und -1. Da wir jetzt die 3 Nullstellen kennen, können wir sie auch aufschreiben: f(x)=0 <=> x1=3, x2=1, x3=-1. Daraus ergibt sich, dass wir alle 3 Nullstellen zwischen den beiden Integrationsgrenzen von -2 bis 4 haben, und müssen deshalb mehrere Integrale bilden, immer von einer Nullstelle zur anderen. Dazu gleich mehr. Zunächst mal: wenn wir mit dem Hauptsatz das bestimmte Integral ausrechnen wollen, brauchen wir eine Stammfunktion. Diese erhält man durch Integration der Funktion f(x). Aber wenn sie als Produkt vorliegt, dann ist es ein wenig unangenehm zu integrieren. Wir können aber das Produkt auflösen, dann haben wir folgendes Ergebnis: f(x)=x³-3x²-x-+3. Das kam nun sehr komfortabel mit der Summenregel, der Faktorregel und der Potenzregel integrieren, wie eben alle ganzrationalen Funktionen. Eine Stammfunktion ist dann: F(x)=¼x4-x³-½x²+3x. Diese müssen wir nun in die bestimmten Integrale einsetzen. Die Fläche A ist dann die Summe folgender Beträge: (Betrag des Integrals von -2 bis -1 f(x)dx)+(Betrag des Integrals von -1 bis 1 f(x)dx)+(Betrag des Integrals von 1 bis 3 f(x)dx)+(Betrag des Integrals von 3 bis 4 f(x)dx). Man integriert also von der linken Integrationsgrenze bis zur ersten Nullstelle, dann von Nullstelle zur nächsten Nullstelle und zum Schluss von der letzten Nullstelle bis zur rechten Integrationsgrenze. Für f(x) wird in der Regel der Term hingeschrieben, die Abkürzung dient nur zur Veranschaulichung und Übersichtlichkeit im Lernvideo. Laut Hauptsatz müssen wir nun diese Integrationsgrenzen in unsere Stammfunktion einsetzen. Dann die Werte der Stammfunktionen an den Integrationsgrenzen voneinander abziehen: [Betrag F(-1)-F(-2)]+[Betrag F(1)-F(-1)]+[Betrag F(3)-F(1)]+[Betrag F(4)-F(3)]. Setze für x die entsprechenden Zahlen ein. Wir erhalten dann 4 Summen wie folgt: [Betrag von -6¼]+[Betrag von 4]+[Betrag von -4]+[Betrag von 6¼]=20½. Was fehlt noch? Der Funktionsgraph dazu. Die Fläche zwischen Graph und x-Achse kann man zeichnerisch darstellen und wird in den Grenzen -2 bis 4 auf der x-Achse dargestellt. (Im Video wird diese Fläche schraffiert dargestellt.) Dies ist viel Schreibarbeit, aber nicht komplizierter als bei anderen Funktionen wie x³.  

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1 Kommentar
  1. Default

    Hallo Herr Wabnik,

    ich find Ihre Videos recht hilfreich.. das ist echt toll..
    Jedoch muss ich Elastizitäten verstehen, dazu gibt es noch kein hilfreiches Video - vllt können Sie das auch auch mal erklären und dazu Übungen ins Netz stellen?

    Vielen Dank.
    Schönes WE

    Jeny- lale

    Von Jeny.Lale, vor mehr als 4 Jahren