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Transkript Bestimmtes Integral und Flächeninhalt – Beispiel (4)

Hallo, es ist die Fläche zu bestimmen zwischen Graph und x-Achse und zwar der Funktion f(x)=x3. Und das soll in den Grenzen von -2 bis 2 passieren. Das wollen wir machen mit bestimmten Integralen, die sollen ausgerechnet werden mithilfe des Hauptsatzes, hier ist er, und das geht ja nun im Prinzip so, dass wir also erst mal uns überlegen: Welche Nullstellen gibt es denn zwischen diesen beiden Integrationsgrenzen? Dann fangen wir bei der linken Integrationsgrenze an, bilden das bestimmte Integral von der linken Integrationsgrenze bis zur nächsten Nullstelle, setzten dieses bestimmte Integral in Beträge. Dann bilden wir das bestimmte Integral von der Nullstelle bis zur nächsten Nullstelle, setzen das Integral in Beträge und so weiter, bis wir bei der letzten Nullstelle vor der rechten Integrationsgrenze angekommen sind. Auch da bestimmen wir das bestimmte Integral, setzen es in Betragsstriche und addieren hinterher alle Beträge, die wir da stehen haben, und das ist dann die Gesamtfläche zwischen Graph und x-Achse, zwischen diesen beiden Integrationsgrenzen. Das ist das ganz allgemeine Verfahren, ich glaube, hier ist schnell ersichtlich, dass sich zwischen -2 und 2 nur eine einzige Nullstelle der Funktion f(x)=x3 befindet, das ist nämlich bei 0, und das habe ich hier dann auch schon mal vorbereitet. Also: Bei x=0 ist die einzige Nullstelle, das heißt, wir brauchen nur von der linken Integrationsgrenze bis zur Nullstelle integrieren, das Integral in Betragsstriche setzen, also hier von -2 bis 0 und dann das bestimmte Integral von 0 bis 2 bilden, das steht hier. Auch das wird in Betragsstriche gesetzt, beide Beträge werden addiert, und so bekommt man dann die Fläche heraus. Und ich glaube, da kann ich mich relativ kurz fassen: Wir bilden eine Stammfunktion von x3, das ist 1/4x4, und müssen dann die Grenzen einsetzen, so wie das hier der Hauptsatz bereitstellt. Dann brauchen wir hier auch noch eine Stammfunktion - das ist natürlich die gleiche, 1/4x4 - , da müssen wir aber andere Grenzen einsetzen. Und dann habe ich das Einsetzen auch noch mal in Einzelheiten hier hingeschrieben: Ja, wir setzen zunächst die obere Grenze ein, das ist in dem Fall die 0, hab ich hier eingesetzt, dann ein Minuszeichen, und zwar das wieder aus dem Hauptsatz hier abschreiben, da ist es, und dann kommt der Funktionswert dieser Stammfunktion hier an der unteren Grenze, und das ist der Funktionswert bei -2, das heißt, wir müssen hier -2 einsetzen, habe ich hier gemacht, +2 einsetzen, das ist dann hier die obere Grenze, wird ja wieder zunächst eingesetzt hier, und dann wird die untere Grenze eingesetzt, das ist die 0 - obere Grenze einsetzen, untere Grenze einsetzen - und wir bekommen hier oben die Zahl -4 heraus, der Betrag davon ist natürlich 4. Hier bekommen wir die Zahl 4 heraus, und der Betrag davon ist auch 4. Beide Beträge zusammen sind 8. So, das werde ich so in allen Einzelheiten bei komplizierteren Funktionen nicht erzählen können, dann würde der Film Stunden dauern, aber ich glaube, wenn man das einmal gesehen hat, was man da genau einsetzen muss, dann ist das auch nicht so kompliziert. Es ändert sich ja nichts, also die Funktion kann wahnsinnig kompliziert sein, man setzt halt die Grenzen ein, also man bildet eine Stammfunktion, setzt die Grenzen ein, es ist immer das Gleiche. Das ändert sich nicht, egal, wie kompliziert die Funktion ist. So, als kleine Veranschaulichung der ganzen Situation hier habe ich das noch mal aufgemalt. Das ist der Funktionsgraph der Funktion x3, so ungefähr, wir haben hier eine Fläche von -2 bis 0, die ist unterhalb der x-Achse. Entsprechend haben wir dann hier auch eine negative Zahl bekommen, die dann gleich dem bestimmten Integral ist. Von 0 bis 2 ist die Funktion oberhalb der x-Achse, also bei 0 ist sie natürlich =0 und nicht oberhalb der x-Achse. Aber ansonsten ist sie halt oberhalb der x-Achse, und da ist das bestimmte Integral positiv, =4, und acht Flächeneinheiten, abgekürzt FE, ist dann die Gesamtfläche zwischen Graph und x-Achse der Funktion x3 in den Grenzen von -2 bis 2. Das war's dazu, viel Spaß. Tschüss!

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