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Transkript Bestimmtes Integral und Flächeninhalt – Beispiel (2)

Hallo, wir können mit bestimmten Integralen die Fläche zwischen Graph und x-Achse einer Funktion bestimmen. Und wie das geht, wenn der Graph unterhalb der x-Achse verläuft, das zeige ich in diesem Beispiel. Wir haben die Funktion -2, die steht hier, und wir möchten das bestimmte Integral von -1 bis 3 der Funktion -2 bilden. Manchmal wundert man sich, warum ist hier kein x, man kann es aber auch so schreiben, -2×0. x0 ist immer 1. Hier steht dann also, wenn man für x eine Zahl einsetzt, -2×1=-2. Das bedeutet einfach, diese Funktion hier -2 ordnet jedem x, also jeder Zahl auf der x-Achse den Wert -2 zu. Man kann das integrieren, also eine Stammfunktion suchen und das bestimmte Integral bilden, das macht man nach dem Hauptsatz. Hier zeig ich den noch mal. Das heißt, wir brauchen hier eine Stammfunktion und dann brauchen wir 2 bestimmte Werte der Stammfunktion, nämlich die Werte der Stammfunktion an den Grenzen, an den Integrationsgrenzen, die hier stehen. Erst setzt man die obere ein, dann die untere und zieht beide voneinander ab. Das ist so der Hauptsatz. Und wir können diese Funktion jetzt integrieren. Einmal mit der Faktorregel, die vereinfacht gesagt sicherstellt, dass man einfach diese -2, die vor dem x steht, hier wieder hinschreiben kann. Das ist schon alles. Man kann das natürlich auch mathematisch korrekt ausdrücken, aber das ist letzten Endes der Sinn der Sache. Und wir haben hier die Potenzregel der Integration. Und wir können hier x0 jetzt einfach integrieren, in dem wir feststellen, wenn wir hier für n 0 einsetzen, haben wir ja x0 da stehn. Und dann können wir es so integrieren. Das heißt, wir haben 1÷1×x1, wenn wir für n 0 einsetzen. Das führt also dazu, dass wir letzten Endes x1 da stehen haben und x1 ist nichts anderes als x. Deshalb steht hier das x. Jetzt muss man noch 3 und -1 einsetzen. Wenn man 3 einsetzt, dann haben wir -2×3=-6. Dann muss man bisschen aufpassen, wo die Minuszeichen jetzt jeweils herkommen. Dieses Minuszeichen hab ich hier aus dem Hauptsatz abgeschrieben. Danach folgt jetzt der Funktionswert der Stammfunktion, -2×x in dem Fall. An der Stelle der unteren Integrationsgrenze, bei uns also -1. Das heißt, ich schreib jetzt erst mal die -2 hin, in Klammer, weil ja keine 2 Rechenzeichen direkt nebeneinanderstehen sollen. Also steht hier die -2. Dann muss ich für x -1 einsetzen und brauche hier noch eine Klammer und dann steht hier -1. Das muss man sich vielleicht einmal deutlich machen, wo da welches Minuszeichen herkommt. Auf jeden Fall, am Ende, haben wir -8.  Und -8 ist nicht der Flächeninhalt. Wir können uns das kurz vorstellen.  Wir gehen ja davon aus, dass ein Flächeninhalt immer positiv ist oder 0 ist, kann auch sein. Wenn man nicht von dem orientierten Flächeninhalt ausgeht, auch das kann man ja machen. Dann kann ein Flächeninhalt auch negativ sein. Ich bleib hier mal bei der gängigen Version, dass ein Flächeninhalt nicht negativ sein kann. Dann haben wir hier zum Beispiel -1 und hier +3 ungefähr, so müsste das hinhauen. Ich schreibs mal oben hin, hätte ich da auch machen können. Denn, wenn wir uns überlegen, was haben wir hier für einen Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse, in den vorgegebenen Grenzen, dann sehen wir hier, das ist ein Rechteck. Die eine Seite des Rechtecks ist 4 Längeneinheiten lang, die andere ist 2 Längeneinheiten lang. Hier ist ja -2, langes Minus ist es geworden. Also der Flächeninhalt dieses Rechtecks ist 8 und so kann man sich vorstellen, wie man jetzt mithilfe des bestimmten Integrals zum tatsächlichen Flächeninhalt kommt. Man muss einfach das bestimmte Integral in Betragsstriche setzen. Der Betrag macht ja aus einer negativen Zahl eine positive Zahl und lässt eine positive Zahl so wie sie ist. Das bedeutet, wenn wir das bestimmte Integral also hier in diese Betragsstriche setzen, ist das, was heraus kommt, nicht negativ. Es kann 0 sein, es kann positiv sein und das ist dann immer der Flächeninhalt. Auch wenn das bestimmte Integral hier positiv sein sollte, lässt der Betrag diese positive Zahl dann wie sie ist. Und damit bleibt es beim Flächeninhalt. Ich hab das hier noch mal verkürzt dargestellt. Wir haben das bestimmte Integral, wir bilden mithilfe des Hauptsatzes eine Stammfunktion, bilden das bestimmte Integral mit dem Hauptsatz, setzen das hier ein, kommen wieder zu -8. Und der Betrag mach aus -8 halt die 8 und das ist der Flächeninhalt. So gehts, einfach mit Betragsstrichen. Viel Spaß damit, tschüss.

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