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Transkript Bestimmtes Integral – Funktion mit gegebener Integraleigenschaft

Hallo! Hier kommt eine Aufgabe, die mir Freude bereitet, wie du siehst. Das ist so eine, da muss man eben ein bisschen nachdenken, und wenn man sich auch nicht verrückt machen lässt von dem etwas komplizierten Aufgabentext, dann ist man quasi sofort fertig. Wenn das anders ist, dann muss man ganz viel rechnen. Ja, ist immer ganz nett, so etwas zu zeigen. Natürlich auch, weil ich jetzt die kürzest mögliche Lösung zeige und du jetzt glaubst, ich sei dann ganz schlau und so was. Da sehe ich dann immer ganz gut aus. Aufgabentext ist folgender: Wir haben eine Funktionenschar gegeben, ft(x)=t×x-x2. Gesucht ist ein t > 1 mit der Eigenschaft: Die Fläche, die ft mit der Winkelhalbierenden g des ersten Quadranten einschließt, ist genauso groß wie die Fläche des Quadrats, das die Schnittpunkte von ft und g als gegenüberliegende Eckpunkte hat. Das muss man erst einmal verdauen. Einmal Luft holen und dann sieht man: die Sache ist gar nicht so kompliziert, wie sie da steht. Es geht um den ersten Quadranten, deshalb male ich hier einen ersten Quadranten. Es geht um Funktionen dieser Funktionenschar und das sind Parabeln. Die sehen ungefähr so aus. Warum weiß ich, dass die Parabeln hier durch 0 gehen? Naja, wenn man für x 0 einsetzt, dann kommt 0 raus. Jetzt geht es um die Winkelhalbierende g des ersten Quadranten und die verläuft ungefähr so. Hier ist als g. Es geht um die Fläche hier. Das ist die Fläche, die von der Winkelhalbierenden und einem Graphen dieser Funktionsschar hier eingeschlossen wird. Das ist keine Gerade jetzt, aber das ist eine Gerade. Um die Fläche geht es also dabei. Und die soll jetzt genauso groß sein wie das Quadrat, das jetzt diese Schnittpunkte - den und den hier - als gegenüberliegende Eckpunkte hat. Da ist das Quadrat. Die beiden sollen jetzt gleich groß sein. Wenn man das so sieht, ist es nicht so kompliziert, wie es im ersten Moment scheint, glaube ich. Die Frage ist jetzt natürlich: Einen Schnittpunkt haben wir, der ist bei (0,0) und der andere, wo ist denn der? Was muss da passieren? Ich nehme auch meinen Spickzettel hier zur Hilfe, nicht, dass ich mich hier noch vertue. Wir haben einmal die Funktion, oder Funktionenschar oder Termen der Funktionenschar, wie auch immer man das jetzt sagen will, tx-x2 und den Schnittpunkt hier kriegen wir, wenn wir das mit der Winkelhalbierenden gleichsetzen. Die Winkelhalbierende hat die Funktionsgleichung y=x. Das, glaube ich, muss ich nicht weiter erklären. Setze ich jetzt voraus, dass du das so verstehst. Und wenn man die beiden gleichsetzt, dann kann man jetzt hier auch das ein bisschen umformen. Ich habe es umgeformt, ich weiß gar nicht, ob das jetzt nötig ist, wenn ich das so sehe, aber ich mache das jetzt einfach mal. So, ich habe nach 0 umgeformt und dann sieht man jetzt gleich, wo die Nullstellen dieses Terms sind. Einmal, wenn man x=0 setzt, natürlich, dann wird das Ganze ja gleich 0. Und wenn x nicht 0 ist, dann können wir durch x teilen. Dann kriegen wir also hier heraus: 0=x+1-t, woraus dann folgt, dass x=t-1. Ja, x=t-1. Wunderbar! Dann wissen wir also: Hier ist t-1. Dann können wir ja gleich integrieren. Wir haben das bestimmte Integral von 0 bis t-1 und wir müssen die Differenzfunktion von tx-x2 und x integrieren. Ja, die beiden müssen wir voneinander abziehen, damit wie hier diese Differenzfunktion bekommen; davon wollen wir ja die Fläche bestimmen. Ich füge das hier gleich mal zusammen, ich schreibe das auch der Reihe nach auf, wie die Exponenten hier sind. Also -x2 müssen wir integrieren und dann kommt noch +(t-1)x dazu, und hinten steht natürlich noch ein dx. Ich bin hier jetzt mal von dieser Gleichung ausgegangen: Wenn ich hier noch -x rechne, dann habe ich ja schon die Differenzfunktion und dann kann ich das ausklammern. Also die Aufgabe richtet sich ja jetzt an Leute in der Oberstufe und so, oder Kursstufe sagt man ja auch, und da muss ich, glaube ich, das Distributivgesetz nicht auch noch erklären. Deshalb mache ich das so ein bisschen hintereinander hier. Man kann jetzt Stammfunktionen bilden. Schöne Klammer dazu. Dann haben wir: [-1/3x3+½(t-1)x2] in den Grenzen von 0 bis t-1. Ja, t-1 muss hierhin. Das passt jetzt nicht mehr, aber du weißt, was ich meine. So, das ist einfach. Erkläre ich auch nicht weiter. Rationale Funktionen integrieren, Potenzregel, Summenregel, ist nichts weiter passiert. Und dann muss ich das Ganze noch ausrechnen. Man sieht vielleicht direkt, wenn man 0 einsetzt, dann wird das Ganze 0. Da muss ich mich nicht drum kümmern. Ich setze dann jetzt einfach mal t-1 ein und erhalte hier folgende Situation: -1/3×(t-1)3+½×(t-1)3. Ja, wenn ich hier für x2 wieder t-1 einsetze, habe ich im Ganzen (t-1)3 da stehen. Das ist jetzt das bestimmte Integral. Und jetzt kann man natürlich den Fehler machen und das alles ein bisschen ausmultiplizieren und sonst was. Aber man kann sich auch überlegen: Was will ich denn jetzt eigentlich erreichen? Ich möchte, dass das eine Quadrat hier genauso groß ist wie dieser Term. Dann kann ich das gleich der Quadratfläche setzen. Die Quadratfläche rechnet man aus mit (t-1)2. Ja, wir wissen ja, dass dieser eine Schnittpunkt hier bei t-1 ist. Dann ist t-1 die Länge. Und dann hat das Quadrat die Fläche (t-1)2. Wir gehen davon aus, dass t-1 ungleich 0 ist, deshalb können wir durch (t-1)2 teilen. Im Aufgabentext wurde ja auch gesagt, t soll größer als 1 sein, dann ist das sowieso ungleich 0. Wenn es 0 wäre, würde das auch alles keinen Sinn machen. Also: wir teilen durch (t-1)2. Und dann kommt hier raus: -1/3(t-1)+½(t-1)=1. Und das hier ist jetzt eine lineare Gleichung. Und da solltest du eigentlich schnell mit fertig sein. Ich zeige trotzdem was dazu. Jetzt können wir hier die beiden Vorzahlen mal zusammenfassen:-1/3+½. Sollte auch kein Problem sein für dich, hoffe ich. Ist 1/6×(t-1)=1. Ich zeige es einfach. Es ist so schön, dass das hier direkt alles raus kommt. Deshalb zeige ich es, nicht weil ich glaube, dass du keine lineare Gleichung lösen kannst. Wir haben also t-1=6, wenn man das Ganze hier mit 6 multipliziert, und dann kommt heraus: t=7. So, und die siehst, wenn man genügend auspasst und keine Fehler einbaut zwischendurch, dann ist man hier wirklich schnell fertig. Hätte der Aufgabentext vielleicht eigentlich am Anfang so nicht vermuten lassen. Aber das ist ja häufig bei Aufgaben. Wenn du cool bleibst, wenn du dir eine Zeichnung dazu machst und alles schön sauber und hintereinander rechnest, dann kann da meistens nichts passieren. Viel Spaß damit. Tschüss.

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5 Kommentare
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    PS: Ich hab das endlich begriffen, dank Ihnen.

    Von Fabienne Kron, vor fast 3 Jahren
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    Ach so, Sie korrigieren es ja im Video! Entschuldigung, hab schon zu früh reklamiert :)

    Von Fabienne Kron, vor fast 3 Jahren
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    Bei genau 9 min im Video sollte es doch so lauten:
    -1/3 (t-1) + 1/2 (t-1)= 1 und nicht = t-1,
    oder?

    Von Fabienne Kron, vor fast 3 Jahren
  4. Default

    Ich hätte auch noch eine sehr ähnliche Aufgabe, bei der ich eine Hilfe beim Lösungsweg bräuchte:
    Bestimme k (reelle Zahl) so, dass die von den Graphen f und g eingeschlossene Fläche den Flächeninhalt A hat.
    f(x)=x^3 und g(x)=2*k*x^2 und A= 33*3/4

    Von Jule B., vor etwa 3 Jahren
  5. Maxi mami 2005

    SUPER :) So toll erklärt & eine super interessante, vernetzende Aufgabe!

    Von Katharina B., vor fast 4 Jahren