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Transkript Bestimmte Integrale – Beispiel (4)

Hallo! Zwei klitzekleine Beispiele habe ich vorbereitet zur Bestimmung bestimmter Integrale. Und wie du siehst, braucht man hier die lineare Substitution beim Integrieren. Das macht die Sache ein kleines bisschen komplizierter, als wenn man nur die Potenzregel braucht. Also, wir haben das bestimmte Integral von (2x-3)5 in den Grenzen von 1 bis 2. Wenn man das jetzt also integrieren möchte, braucht man die lineare Substitution. Das hier ist ja ein linearer Term, weil x nur in der ersten Potenz auftritt. Wir müssen die Vorzahl von x, also das Reziproke der Vorzahl, als 1 durch diese Vorzahl als Konstante vor die Stammfunktion schreiben und dann mit dieser Konstante den Rest multiplizieren. Beim Rest fassen wir das einfach als Einheit auf. Einheit hoch 5 und wenden darauf einfach die Potenzregel an. Dann kommen wir also zu 1/6 × Einheit hoch 6. Also 1/6×(2x-3)6. So, und da müssen wir noch die Grenzen 1 und 2 einsetzen. Das habe ich jetzt gar nicht weiter ausgeführt. Ich sage kurz, was ich mir dabei gedacht habe. Wenn man hier jetzt 2 einsetzt, hat man 4-3. Das ist 1. 16 ist 1. Dann haben wir hier noch 1/2×1/6. Das ist 1/12. Dann wird davon abgezogen, das was hier rauskommt, wenn man 1 einsetzt. Wenn man hier 1 einsetzt, hat man 2×1-3. Das ist -16. Es ist wieder +1. Also hier bleibt noch 1/12 und da kommt dann bei diesem bestimmten Integral schon wieder 0 raus. Ja, ich habe viele Beispiele, bei denen 0 rauskommt. Das ist aber nicht normal. Normalerweise kommt da etwas anderes als 0 raus. Das nächste klitzekleine Beispiel: Das hier. Wir möchten in den Grenzen von -0,5 bis 0 das bestimmte Integral der Funktion 1/\sqrt(3x+2) haben. Wie kann man das machen? Man braucht auch hier wieder die lineare Substitution. Wir haben einen linearen Term 3x+2 und der wird einfach potenziert. Wir können ja 1/Wurzel von irgendetwas schreiben, als irgendwas hoch -1/2. Potenzgesetze, hast du früher gemacht, solltest du noch wissen, ansonsten kannst du gerne noch mal nachgucken. Also wir haben eben diese (3x+2)^-1/2 und können das mit der Potenzregel dann hier integrieren und einfach 1/3 noch vor die Stammfunktion als Faktor davor schreiben und das ganze natürlich in den Grenzen von -0,5 bis 0. Und das sieht dann so aus: Also, diese 3 hier unten ist von 1/3. Da müsst ihr 1 durch diese Zahl vor die Stammfunktion schreiben. Das ist diese 3 daher. Und die 2 kommt zustande, wenn man -1/2 in die Potenzregel einsetzt. Dann erhält man diesen Term 1/(1/2) und das ist halt 2. Und weiter kann man das eben mit der Potenzregel berechnen.  Also haben wir diese Einheit hier wieder. Diese lineare Einheit, die wir noch mit 1/2 potenzieren müssen. Ja, das ist die Stammfunktion dazu. Und in den Grenzen von -0,5 bis 0 muss das noch eingesetzt werden. Wenn wir zunächst 0 einsetzten, 0 ist jetzt ja die größere Zahl, dann erhalten wir hier 2 und haben dann 2/3×\sqrt2, denn hoch 1/2 ist ja die Wurzel. Und wenn wir noch -0,5 einsetzen, haben wir hier drin 3×-0,5. Das ist -1,5. -1,5+2 ist 0,5 und 0,51/2 ist dann halt die Wurzel von 0,5. Näherungswert kann man auch ruhig angeben in dem Fall, der ist dann 0,47. Das war es dazu. Viel Spaß. Tschüss!

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1 Kommentar
  1. Default

    Muss man hier nicht aufleiten? 1:(3X+2)^(1/2). Wie kommen Sie auf (2/3) * X^2?
    Bei den 1. Augabe wie so haben Sie 1/2 * (X) ?
    Danke

    Von Amlod07, vor 7 Monaten