Advent, Advent, 1 Monat weihnachtliche Laufzeit geschenkt.

Nicht bis zur Bescherung warten, Aktion nur gültig bis zum 18.12.2016!

Textversion des Videos

Transkript Bestimmte Integrale – Beispiel (2)

Hallo! Wir machen bestimmte Integrale. Und zwar mit dem Hauptsatz, hier ist der Hauptsatz. Und wir möchten das bestimmte Integral berechnen der Funktion ½, und zwar in den Grenzen von -100 bis +100. Die Funktion ½ ordnet jedem x-Wert den y-Wert ½ zu. Grafisch sieht das so aus, wenn hier die x-Achse ist, ist der Graph dieser Funktion eine Gerade im Abstand ½ über der x-Achse. Eine Stammfunktion von ½ ist ½x, denn wenn man ½x ableitet, kommt ½ heraus. Hier sind die Grenzen von -100 bis +100. Und dann müssen wir einfach einsetzen, hier, wie das im Hauptsatz da steht. Und zwar erst die obere Grenze, also 100, das heißt, wir rechnen ½×100, Minuszeichen schreiben, und dann wieder ½, und dann -100 einsetzen für x. Ich sage das deshalb so, weil hier dann schon wieder Schwierigkeiten auftreten öfter, das da gesagt wird, da steht das schon, das Minus. Also, dieses Minus aus dem Hauptsatz, das ist dieses Minus, was ich hier hingeschrieben habe, und für x wird einfach -100 eingesetzt, und das ist das, was hier steht, dann muss da natürlich noch eine Klammer drum. So, ich glaube, das ist jetzt keine Rechenkunst. Zu bemerken, dass das bestimmte Integral gleich 100 ist. Nächstes Beispiel. Wir suchen das bestimmte Integral von 0 bis 10 von 2x-10dx. Dx liest man dann auch vor, wenn man es jetzt aussprechen möchte, dieses Integral hier, damit man genau weiß, wo diese Funktion endet. Sie endet nämlich hier. Ich könnte ja auch das Integral von 0 bis 10 der Funktion 2x bilden, und dann 10 vom Integral abziehen. Ist hier aber nicht gemeint, denn das dx steht hier, hinter der 10, und nicht hinter 2x. Also, diese gesamte Funktion muss integriert werden. Wir bilden eine Stammfunktion dieser Funktion. Diese Stammfunktion ist x2-10x. Kannst du einfach überprüfen durch die Ableitung. Wenn du diese Funktion ableitest, kommt die heraus. Wir müssen die beiden Grenzen einsetzen. Wenn wir für x 10 einsetzen, hier kommt 100 raus bei x2, dann haben wir -(10×10), das ist also -100, und dann Minus, das ist dieses Minuszeichen wieder hier aus dem Hauptsatz, und dann hab ich in Klammern geschrieben, alles das, was dann danach kommt, denn alles, was danach kommt, wird abgezogen. Macht hier in dem Fall nicht allzu viel. Denn alles, was danach kommt, wenn man hier also für x 0 einsetzt, dann kommt hier 0 heraus. Und den Wert des gesamten Integrals hab ich jetzt nicht hingeschrieben, aber ich glaub, das ist auch so, der ist 0. 100 minus 100 ist 0. Noch ein Beispiel. Das sieht ganz lustig aus, finde ich zumindest. Wir haben das bestimmte Integral von -2 bis +2 von -4t3+4t-3dt. Wir brauchen eine Stammfunktion davon. Vielleicht irritiert dich das irgendwie, dass da ein t steht. Sollte nicht, das ist eine ganz normale Variable, man kann auch x schreiben, man kann aber auch t schreiben. Oder irgendeine andere Variable ist völlig egal. Wir suchen eine Stammfunktion, erst mal von -t3, das ist, also von t3 ist eine Stammfunktion ¼t4, wenn man das mit 4 multipliziert, dann kriegt man 1 raus, also hier bleibt einfach nur noch das Minuszeichen stehen. -t4, und hier kannst du auch einfach ganz stumpf die Potenzregel anwenden. Wir haben 4t-3. Hoch -3 muss dich nicht weiter schocken, das ist ganz normal Potenzregel, einfach einsetzen, nicht denken, klappt, in dem Fall. Wenn man´s einsetzt hat man dann -2×t-2, und die Grenzen von -2 bis 2 stehen auch noch dran. Jetzt hat man ganz viele zweien, man muss halt ein bisschen darauf achten jetzt, was man dann schreibt. Dieses Minuszeichen hab ich hier abgeschrieben, für t hab ich 2 eingesetzt, also steht hier -24, Minuszeichen abschreiben, 2 abschreiben, und für t hab ich 2 eingesetzt und dann kommt noch hoch -2 dazu. Und jetzt wird es lustig. Dieses Minuszeichen ist wieder das aus dem Hauptsatz. Danach kommt dann eine Summe. Wenn man jetzt hier für t was einsetzt, hat man ja eine gesamte Summe. Die gesamte Summe wird abgezogen. Ich sag´s noch mal an der Stelle, auch wenn´s dich vielleicht langweilt, und deshalb muss die in Klammern geschrieben werden. Dann kommt dieses Minuszeichen, das ist da, und dann wird für t -2 eingesetzt, und das muss hier bitte wieder in Klammern stehen, weil ja hier -2 mit 4 potenziert wird, und nicht, wie hier, 2. Hier wird ja nur 2 mit 4 potenziert und das Minuszeichen steht davor, hier wird -2 mit 4 potenziert. Noch deutlicher gesagt: hier steht -(2×2×2×2). Hier steht: -(-2×-2×-2×-2). Das ist ein Unterschied. Dann, dieses Minuszeichen ist das wieder, 2 ist abgeschrieben, für t wird -2 eingesetzt, und dann noch hoch -2 gerechnet. Was kommt bei dem Ganzen raus? -24=-16, -2×2-2, kann man kürzen, ist dann auch -½, und hier -(-(-2)4 ist einfach hier -16, also minus minus minus Klammer auf minus 16, jetzt komme ich selber durcheinander, aber du siehst ja selber, was hier steht. Und das Ganze ist dann einfach nur noch -½, und ich glaube, jetzt hat es sich ausgeminust, es ist 0. Das hab ich nur ein bisschen deshalb aufgenommen, weil manchmal das vielleicht ein bisschen verwirrend sein kann, die ganzen Zeichen hinzuschreiben und man muss da wirklich so drauf achten, weil die Gefahr, dass man sich da vertut, doch ziemlich hoch ist, und je komplizierter die Terme werden, desto größer wird die Gefahr. Also, man muss ganz stumpf vorgehen und wirklich sich jedes Detail überlegen. Und wenn man nämlich einmal irgendwo hier ein Minuszeichen vergessen hat, das findet man kaum noch wieder, das kostet einfach viel Zeit in der Klausur, deshalb hab ich es gemacht. Viel Spaß damit, tschüss!

Informationen zum Video