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Transkript Bestimmte Integrale – Beispiel (1)

Hallo! Wir machen bestimmte Integrale. Es gibt ja viele Möglichkeiten, bestimmte Integrale zu definieren. Egal, wie man es definiert, der Hauptsatz gilt immer und mit dem kann man bestimmte Integrale berechnen. Ich habe ihn Mal in der Form aufgeschrieben, wie wir ihn jetzt praktisch verwenden können. Wir haben hier das bestimmte Integral der Funktion f(x) in den Grenzen von a bis b stehen. Wir brauchen jetzt eine Stammfunktion von f(x), nämlich F(x). Die schreiben wir hier in die eckige Klammer und die Grenzen werden hier drangeschrieben. Das ist einfach so eine Vereinbarung, so eine Konvention, wie man sowas aufschreibt. Und dann setzen wir die obere Grenze in die Stammfunktion F(x) ein, die untere Grenze setzen wir hier ein und ziehen den Wert der Stammfunktion an der unteren Grenze von dem Wert der Stammfunktion an der oberen Grenze ab. Ja, das ist die Methode, die der Hauptsatz hier so vorgibt und die funktioniert konkret so: Wir möchten das bestimmte Integral berechnen, und zwar der Funktion x2 in den Grenzen von 0 bis 2 und brauchen erst mal diese eckige Klammer. Da soll eine Stammfunktion von x2 stehen. Das ist 1/3(x3). Man könnte natürlich auch 1/3(x3) + 15 nehmen oder 1/3(x3) - 29,6, aber meistens lässt man dann das konstante Glied weg oder gleich 0 sein. Dann ist es natürlich am einfachsten und auch in der Mathematik gilt: Wenn man sich das Leben einfach machen kann, dann macht man das auch. Also, hier steht eine Stammfunktion, hier stehen die beiden Grenzen und dann kann man einsetzen. Erst die obere Grenze für x einsetzen, das steht hier 1/3(23), dann die untere Grenze einsetzen, also dann -1/3(03), das ist 0, klar; 23 = 8, darf man auch ohne Taschenrechner wissen. Und dann haben wir als Wert des Integrals 8/3. Ja, so schnell kann das kann. Ich hab auch gleich noch ein Beispiel vorbereitet, und zwar, ja wir steigern uns: x3 ist jetzt gegeben, und zwar in den Grenzen von 1 bis 2. Also, kurz gesagt: Wir suchen das bestimmte Integral in den Grenzen von 1 bis 2 der Funktion x3. Und dazu brauchen wir eine Stammfunktion von x3. Die ist zum Beispiel ¼(x4). Die kommt in die eckige Klammer und die Grenzen kommen wieder hierhin, die obere Grenze immer nach oben, die untere Grenze nach unten. Dann kann man einsetzen ¼, obere Grenze einsetzen, 24 - ¼ 14 ist dann also: (ja hier kann man ja kürzen, nicht wahr, auch das braucht man nicht mit dem Taschenrechner ausrechnen) das ist ja 4 - ¼ = 3 ¾. Und auch dann haben wir den Wert des bestimmten Integrals ausgerechnet. Eine kleine Sache möchte ich noch zeigen mit der Funktion x3, und zwar, um Mal das Gefühl dafür so zu verstärken, was passiert, wenn man die Grenzen ändert. Bestimmen wir also das bestimmte Integral von -2 bis 2 der Funktion x3. Dann kann man eine Stammfunktion bilden. Die ist wieder ¼(x4).  Die Grenzen haben sich jetzt aber geändert, im Vergleich zu dieser Tafel. Sie sind 2 und -2. Und wir können einsetzen, nämlich ¼(24) - ¼ ×(-24). Nun -24 = 16, 24 ist auch 16 und dann sieht man beide Summanden hier sind dann gleich groß. Sie addieren sich zu 0 und 0 ist also der Wert des bestimmten Integrals. Und je nachdem wie das bei dir so definiert wurde in der Schule oder mit welchem Vorwissen du jetzt den Film guckst, könnten sich da Schwierigkeiten breitmachen. Also, ich zeige jetzt noch was zu den Flächen. Das mit den bestimmten Integralen ist hier erst mal abgeschlossen. Wenn du gelernt hast, dass bestimmte Integrale mit Flächen zu tun haben, dann könntest du dich wundern, weil jetzt hier eine 0 steht und die Gesamtfläche hier ist natürlich nicht 0. Also, wir haben den Funktionsgraphen der Funktion f(x) = x3. Der verläuft ungefähr so, hier ist -2 und da ist +2. Und die gesamte Fläche zwischen Graph und x-Achse habe ich jetzt hier Mal schraffiert dargestellt. Das Integral ist 0, weil, ganz vereinfacht gesagt, die Fläche, die sich unterhalb der x-Achse befindet, also zwischen Graph und x-Achse unterhalb der x-Achse, ist genau so groß wie die Fläche, die sich oberhalb der x-Achse befindet. Ich zeig das noch genauer bei den Filmen, die sich mit der Bestimmung der Fläche zwischen Graph und x-Achse befassen. Hier nur eben als Erläuterung, falls dir das komisch vorkommt, dass hier ein Integral 0 wird, obwohl sich ja tatsächlich Fläche zwischen Graph und x-Achse befindet. Das war es, viel Spaß damit! Tschüss!

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