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Textversion des Videos

Transkript Beschränktes Wachstum – Beispiel Bus

Mathematik macht Spaß! Das Thema ist heute: "Das begrenzte Wachstum". Wissen solltet Ihr schon, wie ein natürlicher Wachstumsprozess aussieht und mathematisch beschrieben wird. Was Differenzieren bedeutet und wie man die e-Funktion ableitet. Außerdem solltet Ihr keine Angst vor harmlosen Logarithmen Gesetzen haben. Falls Ihr immer noch im Dunklen steht, dann klickt die Links unterhalb des Videos an. Am Ende dieses Videos könnt Ihr die Haltezeit Eures Schulbusses mithilfe des begrenzten Wachstums berechnen und den Personenzuwachs im Bus beschreiben. Das begrenzte Wachstum: Hier zu stelle man sich einen Bus vor, der an einer völlig mit Menschen überfüllten Haltestelle anhält. In diesen Bus passen maximal g=100 Personen. Die Personenanzahl im Bus, beim Stopp an der Haltestelle, wächst zwar an, ist jedoch begrenzt. Hierbei sprechen wir von einem begrenzten Wachstum. Die Obergrenze oder im Allgemeinen Wachstumsgrenze g, kann als Grenzbestand oder Sättigungsgrenze bezeichnet werden. Um die Anzahl der noch freien Plätze im Bus zu bestimmen, zählt der Busfahrer die eingestiegenen Personen N(t) und zieht diese von der maximalen Platzanzahl ab. Da es aber bei immer weniger verfügbaren Plätzen schwer ist einen freien Platz zu finden, verlängert sich die Einstiegszeit und damit sinkt die Einstiegsrate, also die Anzahl der eingestiegenen Personen pro Zeiteinheit. Allgemein wird dies als Wachstumsgeschwindigkeit bezeichnet. Aus diesem Zusammenhang schlussfolgern wir, dass die Einstiegsrate proportional zur Platzanzahl ist. Mit eier Proportionalitätskonstante, nennen wir sie k, kann man daraus die Wachstumsgleichung gewinnen. Aufgrund des positiven Zuwachses gilt k>0. Die Wachstumsgleichung ist eine Differenzialgleichung, denn sie beinhaltet die Funktion N(t) und ihre Ableitung N'(t). Da dies nicht ganz so einfach zu lösen ist, wird euch die Lösungsfunktion vorgegeben, mit welcher ihr später rechnen werdet. Die Lösungsfunktion heißt Wachstumsfunktion und sieht so aus. Um dies zu beweisen, setzen wir doch einfach mal die Funktion und ihre Ableitung in die Differenzialgleichung ein. Dazu leiten wir diese vorerst ab. Was rauskommt, ist eine wahre Aussage. Die Wachstumsfunktion: Sie besteht aus dem Bestand, dem Grenzbestand, der Zeitkonstante k und der  c der Variable, die man mit den Anfangsbedingungen bestimmen kann. Zeichnen wir einmal den Graphen unserer Funktion. Anhand des Graphen könnt Ihr erkennen, dass die Funktion sich der oberen Grenze annähert, diese aber nicht überschreitet. Bildet man den Grenzwert für der Funktion t gegen unendlich, kommt man so auf den Grenzbestand G. Wir zeichnen ihn als Linie in das Koordinatensystem ein. Der Abstand von Obergrenze und Anfangsbestand N0 entspricht c. Dies wollen wir am Beispiel des Busses einmal nachweisen. Wir gehen davon aus, dass der Bus vor dem Einsteigen der Passagiere komplett leer ist. Der Bestand zur Zeit t=0, auch Anfangsbestand ist somit  die Differenz aus Grenzbestand und der gesuchten Variable. Das Umstellen nach c ergibt: c=g-N0. Da hier der Anfangsbestand 0 ist, gilt: c=G. Die maximale Personenanzahl G=100 entspricht der Variablen c, damit ist unsere Funktion N(t)=G(1-e^-k×t). Misst man jetzt die Zeit um 50 Personen in den leeren Bus einsteigen zu lassen - sagen wir zum Beispiel 2 Minuten - kann man die übrige Variable k bestimmen. Demnach ist der Bestand nach 2 Minuten gleich 50. Nun versucht doch einmal nach der Variable k umzustellen. Wenn ihr die Gleichung richtig umgestellt habt, bekommt Ihr diesen Ausdruck. Mithilfe des Logarithmus lässt sich dies umformen, bis Ihr k erhaltet. Für k erhaltet Ihr so 0,35. Mit der resultierenden Funktion lässt sich der Verlauf der Personenanzahl im Bus genau verfolgen. Zur Probe ermitteln wir die Passagieranzahl nach 6 Minuten. Die 6 Minuten in unserer Funktion eingesetzt und den Exponenten gekürzt, ergibt 87,5 Personen. Also einer ist noch auf der Suche nach einem Platz. Im Rückschluss auf das Video solltet ihr die Wachstumsfunktion gut in der Erinnerung bewahren und natürlich lässt sich diese auch in einer allgemeinen Form schreiben. Dabei ist darauf zu achten, das a>1 ist. Ich hoffe, dass das Video die Problematik des begrenzten Wachstums anschaulich erklärt und die nächste Busfahrt für euch eine mathematische Eroberung darstellt. Viel Spaß mit Mathematik!

Informationen zum Video
11 Kommentare
  1. Default

    Wir haben im Unterricht andere Buchstaben verwendet weshalb es verwirrend war

    Von Ibrahimmurat, vor 8 Monaten
  2. Default

    ahh danke für die antwort :)

    Von Thu Hang 97, vor fast 2 Jahren
  3. Default

    das G wurde ausgeklammert. Zwischen der Klammer und dem G fehlt ein Mal.
    Es gilt die Regel A*(B+C) = A*B+A*C .

    Von El Louis, vor fast 2 Jahren
  4. Default

    ich habe kurz eine Frage und zwar bei 3:55...wie kommt man da von g-g*e^-kt auf g(1-e^-kt)?

    Von Thu Hang 97, vor fast 2 Jahren
  5. Default

    Danke für die Antwort:-)...Ja jetzt habe ich es gecheckt:-)

    Von Vit09, vor mehr als 3 Jahren
  1. Default

    Das Ergebnis ist 87,5 Personen.
    Weil es keine halben Personen gibt, habe ich das so interpretiert, dass die Person zwar schon im Bus ist, aber noch keinen Platz hat. Deshalb auch das Grinsegesicht!

    Von El Louis, vor mehr als 3 Jahren
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    Kannst du bitte erklären warum am Ende deiner Rechnung noch eine Person auf der Suche nach einem Platz ist ?

    Von Vit09, vor mehr als 3 Jahren
  3. Default

    Die Wachstumsfunktion ist die Lösung der Wachstumsgleichung. Da es sich bei der Wachstumsgleichung um eine inhomogene lineare Differentialgleichung 1.Ordnung handelt, kannst du diese mit dem Verfahren " Variation der Konstanten" leicht lösen. Falls du nicht weißt wie das geht: http://www.sofatutor.com/mathematik/videos/variation-der-konstanten-i-loesungsmethode-fuer-inhomogene-lineare-differentialgleichungen-1-ordnung hier das passende Video.

    Von El Louis, vor fast 5 Jahren
  4. Default

    Hallo ich bräuchte die Herleitung der Wachstumsfunktion. können sie mir weiterhelfen?

    Von Atay94, vor fast 5 Jahren
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    sie ist nicht verschwunden.die gleichung wurde lediglich mit 1 subtrahiert und danach auf beiden seiten mit minus 1 mulitpliziert

    Von El Louis, vor fast 5 Jahren
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    Bei 4:28 steht in der Klammer noch eine 1 und in der nächsten Sekunde ist sie einfach verschwunden. Wieso ?

    Von Carolinee, vor fast 5 Jahren
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