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Beschränkter Zerfall – Beispiel 05:57 min

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Transkript Beschränkter Zerfall – Beispiel

Mathematik macht Spaß! Thema heute: begrenzter Zerfall. Wissen solltet ihr schon, wie ein natürlicher Zerfall aussieht und mathematisch beschrieben wird,

was differenzieren bedeutet und wie man die e-Funktion ableitet. Außerdem solltet ihr die Logarhytmengesetze kennen. Immer noch kein Lämpchen am Leuchten? Dann klickt die Links unter dem Video an. Am Ende dieses Videos könnt ihr die Abkühlung eures Badewassers mithilfe des begrenzten Zerfalls beschreiben und berechnen. Kommen wir nun zum begrenzten Zerfall. Der begrenzte Zerfall ist dem natürlichen, ungestörten Zerfall sehr ähnlich. Der einzige Unterschied besteht darin, dass sich der Anfangsbestand nach dem Zerfall nicht komplett aufgelöst hat. Es bleibt immer ein gewisser Rest. Mathematisch lässt sich das in etwa so beschreiben: f(x)=a×e^-k×x Das ist die Funktion des ungestörten Zerfalls. Mit der Grenze zu verschieben, addiert man einfach den festen Wert b hinzu. Und so bekommt man den Graphen des begrenzten Zerfalls. Am Beispiel eures heißen Badewassers lässt sich das ganz leicht vorstellen. Kurz nach dem Einlassen des heißen Wassers nimmt die Temperatur relativ schnell ab. Je näher sie aber der Zimmertemperatur kommt, desto langsamer sinkt sie. Kälter als diese wird sie nie. Man könnte sagen: Die untere Schranke der Wassertemperatur ist über die Zimmertemperatur regulierbar. Das zugehörige physikalische Modell nennt sich Abkühlungsprozess. Er basiert auf der Abkühlungsfunktion. Am Verlauf des Graphen könnt ihr erkennen, dass die Funktion sich einer unteren Grenze nähert. Diese Grenze ist die Umgebungstemperatur, hier mit Tu bezeichnet. Zur Vollständigkeit sei hier auch die Newtonsche Abkühlungsgleichung genannt. Diese steht im engen Zusammenhang mit der Abkühlungsfunktion. T' von t ist hierbei die Abkühlungsgeschwindigkeit. Zur Anwendung der Abkühlungsfunktion wollen wir die Abkühlungsgeschwindigkeit, die Veränderung der Temperatur pro Zeit unseres Badewassers zum Zeitpunkt t=10 min. bestimmen. Dazu müssen wir erst die Funktion aufstellen, im 2. Schritt ableiten und schließlich den gewählten Zeitpunkt einsetzen. Mithilfe der Anfangstemperatur T=40 °C, der Umgebungstemperatur von 25 °C und einem gemessenen Referenzwert der Wassertemperatur nach 5 Minuten sagen wir T=36 °, lässt sich die Funktion für unser Beispiel bestimmen. Klickt auf Stopp und versucht es doch einmal selbst. Gar nicht so schwer - oder? Die Umgebungstemperatur liefert uns den Wert für Tu. Setzen wir den Anfangswert, also die Temperatur zum Zeitpunkt 0, in die Funktion ein, der Exponent wird somit 0 und e hoch 0 ist 1. Nach c umgestellt und eine weitere Unbekannte ist bestimmt. Fehlt nur noch k. Dafür haben wir den Referenzwert, der uns die Temperatur zur Zeit T gleich 5 Minuten verrät. Die 5 Minuten für T eingesetzt ergibt: 36 °C=25 °C+15 °C×e-k×5 min. Wer jetzt Probleme beim Umstellen hat, sollte sich die Logarhythmengesetze noch einmal genau anschauen. Damit wir diese gleich anwenden können, müssen wir so umformen, dass auf der rechten Seite nur noch die e-Funktion mit dem Exponenten steht. In den Taschenrechner eingetippt, ergibt k ungefähr 0,062. Fertig ist unsere gesuchte Funktion. Eingesetzt sieht das dann so aus. Schritt 3: Zeichnen wir den Graphen der Funktion und legen an unseren gesuchten Punkt T=10 Minuten eine Tangente an. Hier bekommen wir die momentane Abkühlungsgeschwindigkeit. Diese entspricht dem Anstieg der Tangenten, welcher über die Ableitung unserer Funktion ermittelt werden kann. Durch Einsetzen des Zeitpunktes in die Ableitung bekommen wir den gesuchten Anstieg für den gewählten Zeitpunk. Ob man richtig abgeleitet hat, erkennt man meist schon an den Einheiten. Also schaut genau hin. Das Ergebnis für die Abkühlungsgeschwindigkeit beträgt deshalb rund -0,5 °C pro Minute, d. h. pro Minute wird es um 0,5° kälter. Ist das realistisch? Versucht es doch einmal in einem kleinen Experiment zu Hause nachzumachen. Messt die Umgebungstemperatur, die Wassertemperatur beim Einlassen und auch ein paar Minuten später. Danach bestimmt ihr alle Unbekannten und die Abkühlungsgeschwindigkeit ist bestimmt. Zusammenfassend möchte ich noch einmal die wichtigste Funktion aus dem Video hervorheben. Die begrenzte Zerfallsfunktion ist eine Erweiterung der natürlichen Zerfallsfunktion und kann deshalb leichter auf verschiedene Prozesse angewendet werden, z. B. dem Abkühlungsprozess. Natürlich lässt sich die kennengelernte Funktion auch in allgemeiner Form schreiben. Es ist jedoch darauf zu achten, dass die Basis des Exponenten hier der Buchstabe a größer als 1 ist. Ich hoffe, dass mit dem Video euch ein weiteres Licht aufgegangen ist, und wünsche weiterhin viel Spaß mit Mathematik.

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