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Transkript Berührungstangente an eine Kurve

Guten Tag und herzlich willkommen. In diesem Video geht es um die Berührungstangente an eine Kurve. Im ersten Teil möchte ich etwas zur Theorie sagen, und im zweiten Teil möchte ich diese an einem Beispiel erläutern.   Nehmen wir zunächst an, wir haben den Graph einer Funktion, der mit f bezeichnet wird. Nun soll es möglich sein, an einer bestimmten Stelle dieser Funktion x0 eine Tangente an den Graph dieser Funktion anzulegen. Diese Tangente, die man auch Berührungstangente nennt, wird hier mit t bezeichnet. Die Tangente ist eine Gerade und muss daher auch einer Gleichung für eine Gerade genügen. Wir schreiben daher: t(x) = mx + n   Wir kennen dann die Berührungstangente an die Kurve, wenn wir m und n bestimmt haben. Zur Erinnerung: m ist die Steigung der Geraden und n ist die Schnittstelle der Geraden mit der y-Achse. An der Stelle x0 muss nun gelten: f'(x0) = t'(x0) = m   Die Steigungen der Funktion f und der Geraden t an der Stelle x0 sind gleich, und das ist ja gleich die Steigung unserer Geradengleichung t(x) = mx + n. Somit haben wir eine einfache Möglichkeit, m zu bestimmen. Die entsprechende Gleichung bezeichne ich als Gleichung 1.   Nun bestimmen wir n. Wir kennen die Stelle x0, für die wir die Geradengleichung bestimmen wollen. Es gilt: t(x0) = m × x0 + n Wir subtrahieren m × x0 und erhalten die Gleichung 2: t(x0) - m × x0 = n   Die Theorie möchte ich an einem kleinen Beispiel demonstrieren. Bestimme die Berührungstangente der Funktion f(x) = x ^4 an der Stelle x0 = 2. Berechnung der Steigung m. Wir leiten f von x ab: f'(x) = 4x³ f'(2) = 4 × 2³ = 32 m ist gleich 32.   Wir bestimmen nun n. Die Grundidee ist, dass die Funktionswerte von t und f an der Stelle x0 gleich sind: t(x0) = f(x0) f(2) = 24 = 16 Wir nutzen die Gleichung 2 und erhalten: t(2) = 16 = 32 × 2 + n n= -48 Wir haben somit die Werte für m und n.   Die Gleichung der Tangente lautet somit: t(x) = 32x - 48   Ich wünsche euch alles Gute und auf Wiedersehen.  

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1 Kommentar
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    Gut erklärt! Top!

    Von Panny22288, vor etwa 2 Jahren