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Transkript Baumdiagramme – Erklärung (2)

Hallo, Baumdiagramme sind dafür da, um Ergebnismengen zu strukturieren oder sie sind auch dafür da, um überhaupt einmal darauf zu kommen, was die Ergebnismenge eines Zufallsversuchs überhaupt ist. Das möchte ich jetzt einmal vormachen, wie das geht: Hier kommt das Baumdiagramm hin und hier diese Ergebnisse in der Darstellung, die du vielleicht gewohnt bist. Was ist der Zufallsversuch? Zunächst einmal habe ich hier 3 Dosen bzw. Schachteln, die sind unterschiedlich groß und davon kann ich jetzt eine ziehen. Baumdiagrammmäßig sieht das also so aus, dass ich hier erst einmal 3 Äste habe: kleine Dose, "k", mittlere Dose, "m", und große Dose, "g". Diese 3 haben die gleiche Chance gezogen zu werden. Das behaupte ich jetzt einmal so hier für diesen Versuch. Deshalb kommt jetzt hier die Wahrscheinlichkeit jeweils von 1/3 an diese Äste. Ich schreibe jetzt 0,333, damit das ein bisschen besser hinpasst hier von der Aufteilung her - ist ja 1/3. Da steht jetzt jeweils 1/3 dran, 3 Äste - auch das kann vorkommen - und die Äste können alle die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Hier sollen jetzt die Ergebnisse alle erscheinen und da weiß ich noch nicht ganz, wie die aussehen. Aber hier oben haben wir erst einmal "k", für "kleine Dose zuerst ziehen", dann haben wir hier "mittel" und dann kommt noch "große Dose zuerst". Da muss man noch einmal gucken, was dann die Ergebnisse sein werden. Ich fange einmal mit der kleinen Dose an, da etwas zu ziehen. Und was haben wir da? Wir haben ein Häschen und 2 Herzchen. Dann werden hier 3 Ergebnisse erscheinen: Einmal kleine Dose und Häschen, schreibe ich einmal "ä" hin für Häschen, und wir haben kleine Dose und das eine Herz und kleine Dose und das andere Herz, Nummer 2. Das sind jetzt erst einmal die 3 Ergebnisse, die wir hier bekommen. Wie kann ich das im Baumdiagramm darstellen? Einmal "ä" für das Häschen und dann mache ich etwas, das auch beim Baumdiagramm üblich ist: Ich schreibe nicht 2 Pfade für die beiden Herzchen, sondern ich schreibe nur einen hin, der dann die beiden Zahlen, hier 1 und 2, zusammenfasst. Das kann man machen, das Baumdiagramm so ein bisschen reduzieren, damit man einen besseren Überblick hat, wenn man jetzt mehrere Äste hier hat. Dann muss ich jetzt die Wahrscheinlichkeiten dran schreiben. Ich gehe einfach einmal davon aus, dass die alle 3 hier, also die beiden Herzchen und das Häschen, die gleiche Chance haben, gezogen zu werden. Dann haben wir hier 1/3, 1/3, 1/3. Also wir gehen ja davon aus, dass wir uns schon für diese Dose entschieden haben und verteilen jetzt noch einmal eine Wahrscheinlichkeit von 1 auf alle 3 Möglichkeiten, die wir da drin haben. Oder man kann auch sagen, dass hier ja die Wahrscheinlichkeit von 1/3 ankommt und die wird jetzt noch einmal zu 1/3 aufgeteilt auf das Häschen und zu 2/3 auf die beiden Herzen. Dann haben wir hier also 0,333... wieder für das Häschen und 0,666..., also 2/3, für diese beiden Herzen. Ja, da ist immer so ein kleiner Knackpunkt, dass manche Leute sich denken: "Wieso? Warum habe ich denn wieder die Wahrscheinlichkeit von 1?" So kann man das modellieren, man kann das auch anders modellieren: Hier geht man davon aus, dass man wieder die komplette Wahrscheinlichkeit - so kann man sich das vorstellen - die hier ankommt, aufteilt zu 2/3 auf die Herzen und zu 1/3 auf das Häschen. Dann geht es weiter mit der mittleren Dose. Was ist da drin? Ein Hund und ein Bär. Dann mache ich gleich weiter mit dem Baumdiagramm: Wir haben hier 2 Pfade oder Äste, die davon weitergehen. Einmal haben wir einen Bären und einmal einen Hund - "B" und "H". Beide haben die Wahrscheinlichkeit ½, gezogen zu werden. Auch hier verteilt man wieder eine 1 auf beide Pfade. Diesmal zu gleichen Teilen hier, weil wir davon ausgehen, dass beide die gleiche Chance haben, gezogen zu werden. Auch hier kann man sich wieder vorstellen, die Wahrscheinlichkeit, die hier ankommt, wird zur Hälfte auf das Bärchen und zur Hälfte auf das Hündchen verteilt. Wie kann ich das hier mit meinen Ergebnissen aufschreiben? Wir haben "m, B" - für mittlere Dose bezogen und Bär - und "m, H" - für mittlere Dose und dann der Hund. Es geht weiter mit der großen Dose. Was erwartet uns da? Da erwarten uns 2 weitere Dosen, das bedeutet also in dem Fall: Das Baumdiagramm wird wohl noch ein bisschen weiter gehen - auch das kann passieren, das man halt 3 Stufen hat. Hier wird es so sein. Hier habe ich jetzt auch wieder eine große und eine kleine Dose, hier soll die große Dose hin, da die kleine. Ich gehe davon aus, dass diese beiden Dosen die gleiche Chance haben, gezogen zu werden. Also hier haben wir wieder 0,5 und 0,5. Und dann fange ich hier einmal mit der großen Dose an. Was ist drin? Es sind 4 Pompons drin. 3 sind gelb, einer ist blau. Auch hier möchte ich jetzt ausgehend von dieser großen Dose 2 Pfade hinschreiben. Nämlich einmal gelb - "ge" - und einmal "bl" für Blau. Das heißt, ich fasse diese 3 Gelben hier zu einem Pfad zusammen - auch das darf man. Dann habe ich hier einmal die Wahrscheinlichkeit von 0,75 oder von ¾. Auch hier wird die Gesamtwahrscheinlichkeit aufgeteilt zu ¾ auf die gelben Bällchen und zu ¼, also 0,25, auf das rote Ding. Das Letzte, was ist drin? Nur ein Teil: 50 Euro. Auch das ist möglich, dass von einem Knoten - so sagt man: hier das und das sind alles Knoten - nur ein Pfad abgeht und der hat dann die Wahrscheinlichkeit 1. Also wenn ich schon diese Dose aufmache, dann hat dieser 50-Euro-Schein die Wahrscheinlichkeit von 1, gezogen zu werden. Damit ist dann das Baumdiagramm hier vollständig. Es sind lauter Dinge da drin, die in Baumdiagrammen vorkommen können. Es kann sein, dass ein Baumdiagramm 2 Stufen hat oder 3 oder 4 oder 5. Es kann auch sein, dass ein Ast nur 2 Stufen hat und ein anderer 3 Stufen hat. Es kann auch sein, dass von einem Knoten nur ein Ast weitergeht, es können auch mehrere Äste sein. Hier hätte ich jetzt auch noch 4 Äste machen können. Es kann sein, dass die Wahrscheinlichkeiten von 2 Ästen unterschiedlich sind, es kann auch sein, dass sie gleich sind usw. Das kann alles passieren. Jetzt muss ich noch hier meine Ergebnismenge aufschreiben. Und zwar hatte ich: "große Dose" und dann kann ich danach noch eine große Dose ziehen und dann hier einen von den Gelben - also den hier, ich sage einmal "Gelb 1" - das ist jetzt ein Tripel geworden, weil da 3 Einträge sind. Dann gibt es noch: große Dose, "g", große Dose und das zweite gelbe Ding, also "g2". Dann gibt es noch: große Dose, große Dose und das dritte gelbe Ding. Und noch: große Dose, große Dose und das blaue Ding, "bl". Und das Tripel mit dem 50-Euro-Schein muss ich hier auch noch hinschreiben, das ist also: große Dose gezogen, kleine Dose und dann die 50 Euro. Das sind dann alle Ergebnisse. Das ist die Ergebnismenge in freundlicher Darstellung. Hier haben wir jetzt die Situation, dass nicht alle Ergebnisse einheitlich sind. Hier, das sind Paare, das sind Tripel. Wenn man 4 Stufen hat, nennt sich das Quadrupel, und wenn man 5 Stufen hat, dann hat man hier Quintupel, und wenn man 10 Stufen hat, dann hat man Zehntupel - so nennt sich das. Wir haben hier auch die Situation, dass nicht alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Das könnte man jetzt noch einmal nachrechnen. Das kommt im nächsten Film, wenn man hier die Wahrscheinlichkeiten ausrechnet. Aber ich wollte nur darauf hinweisen, das sind also diese Fälle, die es geben kann. Manche Leute meinen ja, die müssten alle die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, ist aber nicht so. Ich würde sagen, dann ist dieses Beispiel hier durch. So macht man Baumdiagramme, so kann man Mengen strukturieren oder erst darauf kommen, was überhaupt die Ergebnismenge eines Zufallsversuchs ist. Danach kommen jetzt noch die Regeln, wie man die Wahrscheinlichkeit ausrechnet, auch die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen dann. Viel Spaß damit, tschüss.

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