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Transkript Baumdiagramme – Erklärung (1)

Hallo, Baumdiagramme kennst du wahrscheinlich schon, hast du in der Mittelstufe gemacht. Ich habe auch viele Filme dazu gemacht mit vielen Beispielen und da sehr ausführlich erklärt, was Baumdiagramme sind. Hier kommt noch mal die Erklärung für die Oberstufe, denn wir brauchen die Baumdiagramme noch in einem etwas strengeren und formaleren Zusammenhang. Hier möchte hier kurz ein Beispiel dazu zeigen, in dem ich dann Baumdiagramme erkläre. Wir haben einen Zufallsversuch, wir können eine Münze werfen, und zwar zweimal und dann kann beim ersten Mal zum Beispiel Wappen oben liegen oder Zahl und dann wird sie noch mal geworfen und dann kann wieder Zahl oder Wappen oben liegen. Unsere Ergebnisse hier bei diesem Zufallsversuch, es ist also ein einziger Versuch, der aus dem zweimaligen Werfen einer Münze besteht. Die Ergebnisse sind dann also Paare. Das heißt, es können also Wappen, Wappen auftreten. Es sind sogar geordnete Paare, weil wir die Paare Zahl, Wappen und Wappen, Zahl voneinander unterscheiden wollen. Das sind 2 Paare. Und hier haben wir noch Zahl, Zahl. Und unser Zufallsversuch ist hier komplett beschrieben, indem wir also unsere Ergebnismenge haben und den Ergebnissen Wahrscheinlichkeiten zuordnen. Ich glaube, darin sind wir uns einig, es geht um ein Laplace-Experiment. Alle Paare haben hier die gleiche Wahrscheinlichkeit, nämlich dann jeweils 1/4, weil es sich um 4 Paare handelt. Das ist also kurz die Wiederholung dieses Zufallsversuchs. Warum zeige ich das? Weil es sich herausstellt in der weiteren Betrachtung der Wahrscheinlichkeitsrechnung, dass es oft gar nicht so einfach ist, zu wissen, was die Ergebnismenge eines Zufallsversuchs ist. Und da machen wir jetzt eine Revolution, um das herauszufinden, was die Ergebnismenge eines Zufallsversuchs ist, und zwar Revolution deshalb, normalerweise, also bisher sind wir davon ausgegangen, dass wir einen Zufallsversuch haben, dieser Zufallsversuch hat Ergebnisse und diese Ergebnisse haben Wahrscheinlichkeiten, und wir können Ergebnisse zu Ereignissen zusammenfassen, also zu Mengen von Ergebnissen und denen auch Wahrscheinlichkeiten zuordnen, nämlich mit der elementaren Summenregel. Und jetzt gehen wir andersherum vor. Wir haben erst Ereignisse und machen daraus Ergebnisse. Dann zeige ich, was ich damit meine. Also, wir stellen uns eine Grundmenge vor hier. Da kommen jetzt alle unsere Ergebnisse herein. Und zwar können wir zunächst mal hier am Beispiel des zweifachen Münzwurfs, können wir uns Ereignisse vorstellen - ich kann mich jetzt für die Farben nicht ganz entscheiden - können wir und Ereignisse vorstellen, und zwar können wir das Ereignis definieren, dass zunächst Wappen geworfen wird beim ersten Wurf oder beim ersten Wurf der Münze wird Zahl geworfen. Das sind jetzt zwei Ereignisse. Ich weiß noch nicht, welche Ergebnisse genau dazugehören. Ich weiß es schon, aber in dem Stadium, in dem ich es aufgeschrieben habe, noch nicht. Das sind zwei Ereignisse, in die die Ergebnismenge zerfällt. So sagt man das. Das bedeutet, jedes Ergebnis, das wir hinterher dann auch noch aufschreiben werden, ist in einer dieser beiden Mengen und kein einziges Ergebnis ist außerhalb dieser beiden Mengen. Wenn ich mir jetzt vorstelle, was könnte beim zweiten Wurf passieren, dann kann ich also diese Ergebnisse auch hinschreiben, denn beim zweiten Wurf kann dann Zahl auftreten und beim zweiten Wurf, wenn zunächst schon einmal Wappen geworfen wurde, kann dann auch Wappen auftreten. Dann habe ich jetzt hier meine beiden geordneten Paare. Und hier kann also Folgendes passieren. Wenn erst Zahl oben gelegen hat, kann danach Wappen oben liegen, das ist das eine Paar, und danach kann auch Zahl wieder oben liegen. So, und jetzt habe ich mit Ereignissen angefangen, also mit diesen roten Mengen habe ich angefangen, und habe mir dann hinterher überlegt, welche Ergebnisse sind da eigentlich drin. Dieses Vorgehen kann man sehr übersichtlich darstellen, und zwar in einem Baumdiagramm. Zunächst mal haben wir hier eine Wurzel. Ja, man könnte jetzt sagen, wieso ist hier die Wurzel, Bäume wachsen doch normalerweise von unten nach oben, in der Wahrscheinlichkeitsrechnung hat man das so, dass sie meistens von links nach rechts dargestellt werden, beziehungsweise von oben nach unten. Ist halt so. Okay, es ist ja nur die Darstellungsmöglichkeit. Wir haben gesagt, beim ersten Wurf können wir Wappen haben oder auch Zahl und danach kann das Wappen auftreten, mache ich hier in der Reihenfolge, wie es da steht, oder die Zahl, und wieder das Wappen oder die Zahl. Ja, und ich glaube, das kommt dir bekannt vor. So ein Baumdiagramm, muss ich noch sagen, wie hier die Wahrscheinlichkeiten drangeschrieben werden, meistens werden hier an diese Äste die Wahrscheinlichkeiten drangeschrieben. Das Ereignis, dass zunächst Wappen fällt, hat die Wahrscheinlichkeit 1/2. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zunächst Zahl fällt, also das Ereignis "zuerst Zahl", diese Wahrscheinlichkeit ist auch 1/2. Und dann, also in diesem Fall ist es 1/2, es muss nicht immer 1/2 sein, ich zeige noch andere Beispiele dafür, wo das nicht so ist. Dann kommt die Wahrscheinlichkeit an diesen Ästen hier. Und da gibt es eine Sache, die wichtig ist zu beachten. Und zwar stellt man sich Folgendes vor. Die gesamte Wahrscheinlichkeit hier in dem ganzen Zufallsversuch, die ist ja gleich 1, so haben wir ja Zufallsversuche festgelegt, das heißt, wir haben ja gesagt, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse gleich 1 sein soll. Nun kann man sich das Baumdiagramm so vorstellen, dass die Wahrscheinlichkeit von 1 hier zunächst mal aufgeteilt wird in 1/2 und 1/2. Das kann auch anders sein, hier könnte auch 1/3 und 2/3 stehen zum Beispiel, es können hier auch mehrere Äste am Anfang sein, also das ist in diesem Beispiel so. Und dann stellt man sich vor, dass die gesamte Wahrscheinlichkeit, die hier ankommt, bei W, dass die nun wieder aufgeteilt wird in Teile. In diesem Fall sind es 2 Teile, die auch noch gleich groß sind. Deshalb steht hier 1/2 dran, und hier auch. Also wenn schon Wappen geworfen wurde, dann haben wir die Wahrscheinlichkeit 1/2 dafür, dass noch mal Wappen geworfen wird und die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nach dem Wappenwurf eine Zahl erscheint, diese Wahrscheinlichkeit also 1/2. Dann haben wir hier die gleiche Situation unten. Das muss auch nicht unbedingt die gleiche sein, in diesem Fall ist es die gleiche Situation. Die gesamte Wahrscheinlichkeit, die jetzt hier angekommen ist, wird dann noch kanalisiert in 1/2 für Wappen und 1/2 für Zahl. Auch hier muss es nicht immer so sein, dass diese beiden Zahlen hier gleich groß sind. Hier und hier und hier, auf der zweiten Stufe, steht also nicht die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis Wappen, Wappen, beziehungsweise die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis Wappen, Zahl, da genauso. Ja, das ist hier zu beachten. Und damit ist das Baumdiagramm fertig. Ich glaube, das, was dieses Beispiel hier hergibt, da ist jetzt alles gesagt dazu. Ich zeige noch Beispiele dazu. Viel Spaß damit, tschüss.

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1 Kommentar
  1. Default

    An dieser Stelle doch sehr banal. Es gehört in die Mittelstufe. Da ist es sicher sehr hilfreich.

    Von Susanne 5, vor mehr als 3 Jahren