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Transkript Alternativtest – Einschätzung der Aussagekraft über β-Fehler

Hallo! Wir befinden uns nach der Premierenfeier, zeitlich gesehen, und der Regisseur ist wieder nüchtern und geht zum Intendanten und der Intendant erzählt ihm, dass er die Zufriedenheit des Publikums mit diesem Regisseur testen möchte. Er möchte das so machen, dass er 300 Leute befragen lässt, bei einem Signifikantniveau von 5% befragen lässt. So möchte er seinen Test aufbauen. Der Intendant geht davon aus, dass 75% zufrieden sind mit der Arbeit des Regisseurs. Der Regisseur hingegen sagt, noch etwas kleinlauter als auf der Premierenfeier, dass seine Alternativhypothese ist, dass nicht 75%, sondern 80% mit seiner Arbeit zufrieden sind. So kann sich das ändern. Auf der Premierenfeier sagte er noch, dass mehr als 95% zufrieden seien. Und das hat sich jetzt aber geändert. Die Aufgabenstellung ist: Berechne für diesen Alternativtest den β-Fehler und beurteile die Aussagekraft dieses Tests in diesem Sachzusammenhang. Ich hab dich jetzt in der Aufgabenstellung geduzt; da steht natürlich ein "Sie", aber das soll uns jetzt nicht weiter stören. Was oft bei solchen Alternativtests hilft, ist folgendes Schaubild. Wir haben diesen Hypothesenwert des Intendanten, wir haben einen Erwartungswert 225 - ich hab das schon mal gezeigt in einer Aufgabe, ich mach das jetzt nicht noch mal - und wir haben eine Entscheidungsregel, das heißt, das ist hier ungefähr: Wir haben μ+1,64×σ. Wir haben ein Signifikanzniveau von 5%, hier soll also höchstens 5% der Wahrscheinlichkeit sein, hier soll sich mindestens 95% der Wahrscheinlichkeit befinden. Da also die gesamten 5% hier sein sollen, müssen wir eben nicht die 1,96fache σ-Umgebung um den Erwartungswert nehmen, sondern einfach nach rechts diese 1,64fache σ-Umgebung. Und es kommt dann heraus, wenn man das mit der gerundeten Formel ausrechnet, es gilt ja die Laplacebedingung hier (&sigma">;>3), σ=7,5, also können wir das verwenden, und dann kommen wir darauf, dass dabei rauskommt 237,3, das bedeutet also, der Annahmebereich geht bis 238, weil hier ja mindestens 95% sein soll, müssen wir hier also noch ein bisschen hier erweitern, bis 238 auf. Das ist also der letzte Wert, bei dem die Hypothese des Intendanten nicht verworfen wird. Dann kommen wir jetzt mit der Geschichte des Regisseurs. Er geht ja von einer höheren Akzeptanz im Publikum aus. Und wenn wir jetzt den β-Fehler ausrechnen wollen - können wir ja noch mal hinschreiben, wo der Erwartungswert ist, μ=240, wir gehen davon aus 80% sind zufrieden, oder der Regisseur geht davon aus. Dann besteht der β aua dieser Fläche hier. Das heißt also, es wird die Hypothese des Intendanten angenommen, nicht angenommen, sie wird nicht verworfen - so heißt es richtig - die Hypothese wird nicht verworden, obwohl sie falsch ist! Vielmehr ist richtig, das 80% den Regisseur akzeptieren und mit seiner Arbeit zufrieden sind. Das fällt aber nicht auf, weil das Stichprobenergebnis im Annahmebereich der Hypothese des Intendanten ist. Das bedeutet, der β-Fehler und du kannst das jetzt auch mit der Näherungsformel ausrechnen, mit der Gaußschen Dichtefunktion zum Beispiel, oder Wahrscheinlichkeitsverteilung. Es gibt auch Tafelwerke dazu, also Nordrheinwestfahlen hat man ein Tafelwerk gegeben, da steht auch die Wahrscheinlichkeitsverteilung für N=300 drin. Da kann man nachgucken und dann zu folgendem Ergebnis kommen: Wir wollen wissen, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bis zu 238 Erfolgen bei p=0,8. n=300, p=0,8 und wir ollen wissen bis zu 238 Erfolgen. Da kommen wir auf eine Wahrscheinlichkeit von circa 0,41, das heißt also von circa 41%. Das ist also die Situation, in der wir uns hier befinden. Frage war jetzt: Wie aussagekräftig ist so ein Test, oder ist dieser Test. Und da muss man sagen: Bei einem β-Fehler von 41 % ist dieser Test nicht besonders aussagekräftig. Ein sehr großer Teil dieser Wahrscheinlichkeit liegt doch im Annahmebereich der Hypothese des Intendanten. Das heißt also, dass wir fälschlicherweise die Hypothese des Intendanten nicht verwerfen ist, doch relativ groß, also bei circa 41%, und von daher kann man so eigentlich keine seriösen Aussagen machen. Ich hoffe Du hast es gleich von Anfang an vermutet: Wenn Hypothesen so nah beieinanderliegen, dann ist der β-Fehler doch reichlich groß. Das war hierzu zu sagen, mehr nicht, und deshalb sag ich jetzt auch nichts mehr. Bis bald, tschüss.

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