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Transkript Ähnlichkeit von Dreiecken

Hallo liebe Schülerinnen und Schüler. Herzlich willkommen zum Video "Geometrie Teil 45". Das Thema dieses Videos heißt: Wann sind Dreiecke ähnlich? Ich habe hier ein schönes, großes, rotes Dreieck und dazu lege ich ein kleineres blaues Dreieck. Und schließlich, zum Abschluss, habe ich hier noch ein kleines gelbes Dreieck. Vergleicht einmal diese Dreiecke miteinander.  Sind sie vielleicht kongruent? Probieren wir das doch einfach einmal aus. Ich nehme mir das rote Dreieck und vergleiche es mit dem blauen Dreieck. Na klar, das rote Dreieck üüberdeckt das blaue Dreieck und natürlich auch das gelbe Dreieck. Aber das reicht für Kongruenz natürlich nicht, denn das blaue muss auch das rote überdecken und natürlich muss auch das gelbe die beiden anderen exakt überdecken. Und das funktioniert leider nicht. Also, so geht es nicht. Die Dreiecke sind auf keinen Fall kongruent zueinander. Also weg damit. Probieren wir doch vielleicht einmal etwas anderes aus. Ich nehme jetzt einmal das kleine Dreieck weg, dass ich nur noch das rote und das blaue Dreieck habe. Und jetzt nehme ich das blaue Dreieck und führe es ganz in Parallele zum roten Dreieck an die Kamera heran. Ich komme immer näher. Ihr seht, das ist nicht so einfach. Aber doch: Es gelingt mir, das blaue Dreieck so zu halten, dass es das rote Dreieck exakt überdeckt und das ist schon eine beachtliche Tatsache. Da mir das so gut gelungen ist, werde ich noch einen Versuch starten. Ich nehme jetzt einmal das rote Dreieck weg, dass ich nur noch das blaue behalte, und zusätzlich benutze ich jetzt das gelbe Dreieck. Hier ist es auch schon, unser gelbes Dreieck. Es ist etwas klein und für meine großen Finger schwer zu halten, aber ich stelle mich der Sache. So, kleines Dreieck immer näher an die Kamera heran, möglichst parallel zum blauen Dreieck. Es ist nicht so einfach, aber wir kommen immer näher und es gelingt mir doch tatsächlich, das gelbe Dreieck so zu positionieren, dass es das blaue Dreieck vollständig und exakt überdeckt. Weil das so gut ging, noch einen weiteren Versuch. Jetzt halte ich das kleine gelbe Dreieck über das rote. Da muss ich ja dann wieder noch näher an die Kamera heran, und noch näher. Das ist gar nicht so einfach, aber ihr seht, es gelingt mir, das Dreieck so zu halten, dass es das rote Dreieck exakt überdeckt. Ja, und noch mal. Da ist es ein bisschen zu weit, aber jetzt daran, sehr schön. Naja. Aber es gelingt mir doch. Und wieder zurück. Und schließlich kommt eine ganz große Herausforderung: Ich nehme jetzt 3 Dreiecke und möchte das blaue und das gelbe so weit an die Kamera heranführen, dass das gelbe Dreieck das blaue überdeckt und das blaue das rote, und damit das gelbe auch das rote Dreieck, und zwar ganz exakt. Das ist ganz schön schwer, kann ich euch sagen. Also mit dem blauen und roten klappt es fast, mit dem gelben noch nicht ganz. Und jetzt, ja, aber ich glaube, man sieht es schon. Auch das gelingt uns. Es sieht so aus, als ob alle 3 Dreiecke gleich groß sind, als ob alle 3 Dreiecke kongruent wären. Aber wir wissen ja, das sind sie gar nicht. Sehr schön. Alle 3 Dreiecke überdecken sich und sie gehen wieder an ihre Ausgangsplätze zurück. Wir haben also 3 Dreiecke: ein großes, ein mittleres und ein kleines. Und wenn man die kleineren nah genug an die Kamera hält, dann sieht es aus, als ob sie kongruent zum großen sind, aber das sind sie gar nicht. Wir legen sie einmal übereinander und schieben sie auf die andere Seite. Wir wollen einmal formulieren, was wir kennengelernt haben. Wir haben es hier nämlich mit ähnlichen Dreiecken zu tun. Und welche Eigenschaft der ähnlichen Dreiecke haben wir durch unsere Versuche gefunden? Wir schreiben folgenden Merksatz: 1. Ähnliche Dreiecke gehen durch Vergrößerung oder durch Verkleinerung ineinander über. So, und nachdem wir diese wichtige Erkenntnis aufgeschrieben haben, möchten wir noch eine andere Eigenschaft untersuchen, die wir von den kongruenten Dreiecken kennen. Mit den Seitenlängen sieht es nicht so gut aus, also bleiben uns nur noch die Innenwinkel. Die wollen wir einmal miteinander vergleichen. Die Dreiecke liegen schon so übereinander, dass man sehr schön sieht, dass sie ähnlich zueinander sind. Ich notiere einmal für den Vergleich die entsprechenden Eckpunkte im großen Dreieck, A,B und C. Dann  erhalten wir für den Winkel links unten, Winkel CAB=α (Alpha). Der Winkel ABC rechts unten wird gewöhnlich, das wisst ihr ja, als Beta (β) bezeichnet. Und schließlich der Winkel BCA. Dieser Winkel wird, das wisst ihr auch, als Gamma (γ) bezeichnet. Nun wollen wir einmal schauen, ob unsere 3 Dreiecke in den Winkeln eine Übereinstimmung zeigen.  Nehmen wir zuerst den Winkel links unten. Ich habe ihn für das große Dreieck als Alpha (α) bezeichnet. Auch für die anderen Dreiecke ist es der Winkel links unten. Ich schiebe nun das blaue Dreieck so in die Ecke hinein, dass ich feststellen kann, ob beide Winkel gleich groß sind. Und tatsächlich: Links unten finde ich in diesem Winkel eine Übereinstimmung. Nun muss ich schauen, ob das kleine gelbe Dreieck auch so einen Winkel hat. Ich schiebe es also in die Ecke des Eckpunktes A hinein. Und tatsächlich: Es sieht gut aus. Der entsprechende Winkel in dieser Ecke ist gleich dem Winkel der beiden Dreiecke rot und blau. Jetzt schauen wir uns den Eckpunkt B an, wo wir den Winkel Beta (β) finden. Ich schiebe das blaue Dreieck dort hinein und stelle fest: Es passt wunderschön in diese Ecke hinein. Das bedeutet aber, dass es dort eine Übereinstimmung beider Winkel gibt. Beide Winkel sind gleich groß. Nun kommt noch das gelbe Dreieck hinzu. Und wieder versuche ich, es in die Ecke B hineinzuschieben. Und es sieht wirklich - Finger weg! Finger weg! Finger weg, habe ich gesagt - gut aus. Es sieht wirklich gut aus. Auch dieser Winkel ist genauso groß wie die entsprechenden Winkel des blauen und des roten Dreiecks. Und schließlich betrachten wir die Ecke mit dem Eckpunkt C. Dort haben wir den Winkel Gamma (γ) im roten Dreieck. Und wir schauen, ob die Winkel im blauen Dreieck und gelb übereinstimmen. Mit dem blauen Dreieck sieht es wirklich schon sehr gut aus. Ich glaube, die Übereinstimmung ist zu sehen. Also, die beiden Winkel sind gleich groß. Nun kommt noch unser gelbes kleines Dreieck hinzu. Ich schiebe es in die Ecke hinein und - ihr habt es schon erraten - auch hier gibt es eine schöne, schöne - Finger weg! Finger weg! - Übereinstimmung. Alle 3 Winkel im Eckpunkt C stimmen überein. Sie sind gleich groß. Ich wische nun alles Überflüssige weg und schiebe unsere 3 Dreiecke, die in einem nun zusammenliegen, auf die linke Seite. Wir wollen nun den zweiten Merksatz formulieren. Habt ihr eine Idee? Vielleicht so: 2. Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in ihren Innenwinkeln übereinstimmen. Versuchen wir doch einmal, den Merksatz 2 in mathematischer Form darzustellen. Ich bezeichne unsere 3 Dreiecke ganz einfach einmal als Rot, Blau und Gelb. Das rote Dreieck hat unten links den Winkel α. Unten links hat das blaue Dreieck den Winkel α' und das gelbe Dreieck den Winkel α''. Das rote Dreieck hat rechts unten den Winkel β. Das blaue Dreieck hat rechts unten den Winkel β' und das glebe Sreieck hat rechts unten den Winkel β''. Und schließlich oben haben die Dreiecke Rot, Blau und Gelb die Innenwinkel γ, γ' und γ''. Und nach der Aussage 2 gilt nun: α=α'=α'' und β=β'=β'' und γ=γ'=γ''. Ich trage nur noch den Winkel γ oben ein und auch die anderen Winkel werden jetzt an ihrem Platz eingetragen. α' befindet sich links unten am blauen Dreieck, α'' befindet sich links unten am gelben Dreieck. β' befindet sich rechts unten am blauen Dreieck und β'' befindet sich rechts unten am gelben Dreieck. Ganz oben, wo der Winkel γ ist, liegt auch der Winkel γ' und auch der Winkel γ'' ist dort. γ, γ' und γ'' liegen übereinander. So, wir können jetzt auf unsere Frage, wann sind Dreiecke ähnlich, antworten. Sie sind dann ähnlich, wenn sie durch Vergrößerung oder Verkleinerung ineinander übergehen und sie sind ähnlich, wenn sie in ihren Innenwinkeln übereinstimmen. Das war es schon wieder. Alles Gute. Tschüss.

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1 Kommentar
  1. Default

    Super erklärt Danke

    Von Burcey, vor etwa 3 Jahren