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Transkript Ähnlichkeit bei Quadraten

Einen schönen guten Tag, liebe Schülerinnen und Schüler. Ich begrüße Euch ganz herzlich zum Video Geometrie Teil 48. Das Video trägt den Titel "Ähnlichkeit bei Quadraten". Ich nehme mir zum Beispiel ein kleines, blaues Quadrat und noch ein größeres, gelbes Quadrat und schließlich ein großes, rotes Quadrat. Sind diese Quadrate zueinander ähnlich? Könnt ihr Euch noch daran erinnern, wie wir die Ähnlichkeit bei Dreiecken festgestellt hatten? Das war im Video Geometrie Teil 45. Dieses Verfahren wollen wir jetzt auch bei Quadraten anwenden. Ich nehme das große Quadrat und jetzt noch dieses kleinere, gelbe hinzu und versuche nun, durch Vergrößerung, das heißt durch Annäherung an meine Kamera, die beiden deckungsgleich zu machen. Und tatsächlich, es gelingt mir. Offensichtlich sind beide Quadrate zueinander ähnlich. Den gleichen Versuch möchte ich jetzt mit dem großem rotem Quadrat und dem kleinen, blauen Quadrat durchführen. Hier liegen sie übereinander und jetzt nähere ich das kleine Quadrat an die Kamera an und tatsächlich, es ist nicht so einfach. Aber es gelingt mir, es so zu halten, dass es das rote Quadrat gerade überdeckt. So, und das bedeutet, dass das kleine blaue Quadrat und das große rote Quadrat ähnlich zueinander sind. Jetzt nehme ich das mittlere gelbe Quadrat und das kleine Blaue. Auch hier mache ich den Versuch der Ähnlichkeit. Annäherung an die Kamera, das kleine Blaue wird scheinbar immer größer und schließlich überdeckt es das gelbe Quadrat vollständig. Beide sind deckungsgleich. Das heißt, sie sind zueinander ähnlich. Und nun der schwerste Versuch. Wer das Dreieckvideo gesehen hat, weiß, was jetzt kommt. Alle 3 Quadrate. Unten das große Rote, darüber das mittlere Gelbe und ganz oben dann das kleine Blaue. So und die beiden kleineren halten wir jetzt so nah an die Kamera ran, dass sie das große Rote überdecken. Aha, gelb überdeckt rot, blau überdeckt gelb und auch damit rot. Alle 3 Quadrate sind scheinbar deckungsgleich. Die Vergrößerung hat zum Erfolg geführt. Das heißt, alle 3 sind zueinander ähnlich. Versuchen wir doch ein Mal die gefunden Ergebnisse schematisch darzustellen. Wir haben Versuche mit 3 Quadraten unterschiedlicher Größe durchgeführt. Mit einem Kleinem blauen, einen mittlerem Gelben und einem Großem roten. Wir haben dabei die jeweils kleineren Quadrate über die größeren gelegt und durch Annäherung an die Kamera eine Vergrößerung der kleineren Quadrate erzielt. Vergrößerung des kleinen Blauen ergab die Umrisse des mittleren gelben und die Vergrößerung des mittleren Gelben ergab schließlich die Umrisse des großen Roten und auch das kleine Blaue konnten wir vergrößern, indem wir es an die Kamera angenähert haben. Und wir haben die Umrisse des großen roten Quadrates erzielt. Der rote Pfeil bedeutet jeweils Vergrößerung. Aber auch umgekehrt ist es möglich, aus den größeren Quadraten die kleineren darzustellen. Aus dem großen roten Quadrat kann man das kleinere Gelbe herstellen und auch die Umrisse des kleinen Blauen werden durch Verkleinerung des mittleren Gelben erzielt. Und natürlich ist es auch möglich, durch Verkleinerung des großen roten Quadrates auf die Umrisse des kleinen blauen Quadrates zu kommen. Der blaue Pfeil bedeutet jeweils Verkleinerung. Wir können also als Erstes feststellen: Quadrate gehen durch Vergrößerung oder Verkleinerung ineinander über. Eine kleine Bemerkung zu diesem Merksatz, die ich nicht aufschreibe: Wenn Quadrate kongruent sind, sind sie auch ähnlich und brauchen dann nicht vergrößert oder verkleinert zu werden. Wir wollen ein Mal überlegen, was unsere 3 Beispielquadrate gemeinsam haben. Das kleine Blaue, das mittlere Gelbe und das große Rote. Alle 3 haben jeweils 2 gleich lange Seiten und sogar 3 gleich lange Seiten und sogar 4 gleich lange Seiten. Alle 3 Quadrate haben 4 gleich lange Seiten. Aber das reicht noch nicht. Was brauchen wir noch? Könnt ihr das sagen? Ich baue es schon auf. Denkt ein Mal nach. Richtig! Sie brauchen mindestens einen rechten Winkel. Ihr wisst genau, dass sie 4 rechte Winkel haben. Aber der eine rechte Winkel reicht aus. Das haben wir noch nicht bewiesen, aber das ist so. Wir werden jetzt einen Merksatz formulieren, der Euch vielleicht selbstverständlich und einfach erscheint. Wir werden aber später feststellen, dass durchaus nicht alle Vierecke diese Eigenschaft besitzen. 2. Alle Quadrate sind untereinander ähnlich. Eine wichtige Bemerkung möchte ich an dieser Stelle noch machen. Einige von Euch sind sicher schon selbst darauf gekommen, aber ich möchte es noch ein Mal sagen. Kongruente Quadrate sind spezielle ähnliche Quadrate. So, das war es schon wieder für heute. Auf Wiedersehen.

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1 Kommentar
  1. Default

    Sehr gut erklärt, Danke! Top!

    Von Batuhan Atalay, vor etwa einem Jahr