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Transkript Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten – Beispiel (1)

Hallo, ein Beispiel zum Additionssatz. Wir suchen die Wahrscheinlichkeit aus 90 Losen, eine Zahl zu ziehen, die durch 5 teilbar ist oder die >80 ist. Wir ziehen nur ein einziges Mal. Wir müssen uns zunächst überlegen, was sind unsere beiden Ereignisse. A soll das Ereignis sein, ist durch 5 teilbar. Das schreibe ich jetzt nicht alles im Einzelnen auf. Das kannst du dir auch so merken, denke ich. In einer Klausur müsstest Du das da vielleicht extra noch mal alles hinschreiben. Die Wahrscheinlichkeit von A, also A ist ja die Möglichkeit, eine Zahl zu ziehen, die durch 5 teilbar ist. Da müssen wir einfach 90 durch 5 teilen. Denn jede 5. Zahl ist 90, ist durch 5 teilbar. Bei 91 funktioniert das nicht mehr. Da sind wir uns einig. Wenn man 91 durch 5 teilt, bekommt man nicht die Anzahl der Zahlen, die durch 5 teilbar sind, bis 91. Aber hier geht das, es sind 18 Zahlen. Und da wir davon ausgehen, dass es sich um ein Laplace-Experiment handelt, alle Lose haben die gleiche Chance gezogen zu werden, müssen wir einfach abzählen, wie viele Elemente gehören zu A und dann durch alle Möglichkeiten teilen. Alle Möglichkeiten sind hier alle Lose, also 18/90. Und das kann man kürzen, das ist 1/5. Ich meine, wenn wir auf 18 gekommen sind, wenn wir 90÷5 gerechnet haben, dann sind 18/90=1/5. Wir brauchen die Wahrscheinlichkeit für B. B ist jetzt das Ereignis, dass wir eine Zahl ziehen, die >80 ist. Es gibt 10 Zahlen, die diese Eigenschaft haben und die sich hier in diesen Losen befinden. Also 10 Zahlen, die >80 sind und ≤90. Das Ereignis B enthält also 10 Elemente. Es ist weiter ein Laplaceversuch, wir müssen nur durch 90 teilen, durch alle Möglichkeiten und erhalten dann hier 1/9 als Wahrscheinlichkeit. Nun haben wir den Additionssatz, der lautet P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B). Wir haben noch nicht uns überlegt, wie groß die Wahrscheinlichkeit von A∩B ist. Das mache ich gleich, wenn ich das alles hier hinschreibe. Also, wenn wir das jetzt übertragen auf unsere konkrete Situation hier, dann haben wir P(A), das ist 1/5. Und wir haben P(B), das ist 1/9. Und dann müssen wir abziehen, die Wahrscheinlichkeit von A∩B, das heißt >80 und durch 5 teilbar. Hätte ich jetzt auch noch extra aufschreiben können, mache ich aber jetzt nicht. >80 und durch 5 teilbar, innerhalb dieser 90 Zahlen bedeutet, wir haben nur 85 und 90 da drin. Das Ereignis A∩B besteht nur aus 2 Ergebnissen, nämlich 85 und 90. Die Wahrscheinlichkeit dafür sind 2/90. 2/90 ist 1/45. Auch die Bruchrechnung darf man hier ruhig beherrschen. Klar kannst du alles mit dem Taschenrechner machen, das entfernt einen dann irgendwann aber so weit von den Zahlen, dass man da kein Gefühl mehr dafür hat und dann rechnest du, wie ich immer dafür sage, am Pariser Eiffelturm vorbei und merkst das nicht. Wir müssen jetzt, wenn wir die addieren wollen und subtrahieren, erweitern. Das ist auch schnell gemacht. 1/5 muss ich mit 9 erweitern, um auf 1/45 zu kommen. Das heißt, wir haben 9/45. 1/9 muss ich mit 5 erweitern, um auf 1/45 zu kommen, das sind dann 5/45. Und dann möchte ich 1/45 abziehen. Dann habe ich also 9+4/45=14/45-1/45=13/45. Und das darf selbstverständlich als Bruch stehen bleiben, denn auch Brüche sind ganz normale Zahlen. Ich darfs noch mal sagen. Das ist die Lösung, Antwortsatz kann man auch noch hinschreiben. Wie auch immer, viel Spaß damit, tschüss  

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