Advent, Advent, 1 Monat weihnachtliche Laufzeit geschenkt.

Nicht bis zur Bescherung warten, Aktion nur gültig bis zum 18.12.2016!

Textversion des Videos

Transkript Additionssätze cos(a+b) und cos(a-b) – Herleitung und Beweis

Beweis der Addiotionssätze cos(a+b) und cos(a-b)

Hallo! In diesem Video wird dir Schritt für Schritt gezeigt, wie man den dritten Additionssatz beweist. Mit Hilfe des dritten Additionssatzes kannst du dann sehr schnell auch den vierten Additionssatz herleiten. Weisst du noch, wie der dritte und der vierte Additionssatz lauten?

Mit dem dritten Additionssatz kannst du den Kosinus einer Summe zweier Winkel berechnen: Kosinus von Alpha plus Beta ist gleich Kosinus alpha mal Kosinus beta MINUS Sinus alpha mal Sinus beta.

Der vierte Additionssatz hilft dir, den Kosinus der Differenz zweier Winkel zu berechnen: Kosinus von alpha minus beta ist gleich Kosinus alpha mal Kosinus beta plus Sinus alpha mal Sinus beta.

Für den Beweis des dritten Additionssatzes brauchst du den Kosinussatz. Der Kosinussatz für die Seite c eines Dreiecks lautet: c Quadrat ist gleich a Quadrat plus b Quadrat minus 2 mal a mal b mal Kosinus gamma. Gamma ist der Winkel gegenüber von c.

Außerdem zeichnest du in das Dreieck die Höhe auf der Seite c ein. Sie teilt das Dreieck in zwei rechtwinklige Teildreiecke. Das sind das Teildreieck ADC und das Teildreieck DBC. Für den Beweis benötigst du außerdem Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck und den Satz des Pythagoras. Die Beziehungen werden hier schon einmal notiert. Später wirst du sie für den Beweis benutzen.

Nach dem Satz des Pythagoras gilt für das Teildreieck ADC: b Quadrat gleich AD Quadrat plus DC Quadrat. Du stellst nach AD Quadrat um und erhältst AD Quadrat gleich b Quadrat minus DC Quadrat. Diese Gleichung brauchst du später.

Für das Teildreieck DBC ergibt der Satz des Pythagoras a Quadrat gleich DB Quadrat plus DC Quadrat. Hier stellst du nach DB Quadrat um und erhältst die Gleichung DB Quadrat gleich a Quadrat minus DC Quadrat, die du auch später benötigst.

Als letzten Schritt der Vorarbeit schreibst du schonmal den Sinus und Kosinus von alpha und beta auf. Der Sinus am rechtwinkligen Dreieck ist gleich Gegenkathete durch Hypothenuse, der Kosinus ist das Verhältnis von Ankathete zu Hypothenuse. Im Teildreieck ADC siehst du also, dass Sinus alpha gleich Strecke DC durch b ist. Umstellen nach DC ergibt DC gleich sinus alpha mal b. Kosinus alpha ist gleich Strecke AD durch Seite b. Umstellen nach AD ergibt AD gleich Kosinus alpha mal b.

Analog ergibt sich im Teildreieck DBC, dass der Sinus von beta gleich Strecke DC durch a ist. Du stellt wieder nach DC um und erhältst den Ausdruck sinus beta mal a. Der Kosinus von Beta ist gleich DB durch a. Umstellen nach DB ergibt DB gleich Kosinus beta mal a. Diese vier Gleichungen benötigen wir später ebenfalls.

Mit dem Aufstellen des Kosinussatzes für die Seite c des Dreiecks ABC fängst du den Beweis des dritten Additionstheorems an. Im nächsten Schritt drückst du den Winkel gamma durch die Winkel alpha und beta aus. Das geht einfach mit der Winkelsumme im Dreieck. Da ja gilt: alpha plus beta plus gamma gleich 180°, ergibt sich durch Subtraktion von alpha und beta: gamma gleich 180° minus in Klammern alpha plus beta.

Das kannst du jetzt hier in die Gleichung einsetzen. c Quadrat ist also gleich a Quadrat plus b Quadrat minus 2 mal a mal b mal Kosinus von 180° minus in Klammern alpha plus beta.

Der Ausdruck Kosinus von 180° minus alpha plus beta lässt sich vereinfachen. Erinnerst du dich an die Eigenschaften der Kosinusfunktion? In deinem Mathebuch oder im Tafelwerk solltest du finden, dass der Kosinus von pi minus x gleich minus Kosinus von x ist. Pi im Bogenmaß entspricht aber genau 180° im Gradmaß. Und x ist in unserem Fall der Term alpha plus beta. Also gilt: Kosinus von 180° minus alpha plus beta ist gleich minus Kosinus von alpha plus beta.

Die Gleichung vereinfacht sich dadurch zu c Quadrat gleich a Quadrat plus b Quadrat minus 2 mal a mal b mal minus Kosinus von alpha plus beta. Minus mal minus wird zu plus, also bleibt stehen c Quadrat gleich a Quadrat plus b Quadrat plus 2 mal a mal b mal Kosinus von alpha plus beta.

Die Seite c setzt sich zusammen aus den Strecken AD und DB, also c gleich AD plus DB. Diesen Ausdruck kannst du in die Gleichung für c einsetzen. Da in der Gleichung c Quadrat steht, musst du dann auch die Summe AD plus DB quadrieren. Jetzt steht also da: Klammer auf AD plus DB Klammer zu ins Quadrat ist gleich a Quadrat plus b Quadrat plus 2 mal a mal b mal Kosinus von alpha plus beta.

Wenn du das Quadrat auf der linken Seite ausrechnest, erhältst du AD Quadrat plus 2 mal AD mal DB plus DB Quadrat. Für AD, DB, AD Quadrat und DB Quadrat setzt du jetzt die Ausdrücke ein, die wir am Anfang schon hergeleitet und aufgeschrieben haben.

Also steht auf der linken Seite der Gleichung jetzt b Quadrat minus DC Quadrat plus 2 mal b mal Kosinus alpha mal a mal Sinus alpha plus a Quadrat minus DC Quadrat. Der Term minus DC Quadrat kommt zweimal vor, also kannst du ihn zusammenfassen. Außerdem schreibst du statt DC Quadrat DC mal DC. Gleich siehst du warum.

Jetzt benutzt du nämlich noch die zwei Ausdrücke für die Strecke DC. Ein DC ersetzt du mit sinus alpha mal b, das andere mit sinus beta mal a. Noch ein paar Umformungen, und du bist am Ziel. Als erstes subtrahierst du a Quadrat und b Quadrat. Auf der linken Seite kannst du den Term 2 mal a mal b ausklammern: Jetzt musst du nur noch durch 2 mal a mal b teilen und die Seiten der Gleichung vertauschen, und du hast das dritte Additionstheorem bewiesen!

Mit dem dritten Additionssatz bist du jetzt in der Lage, sofort den vierten Additionssatz herzuleiten. Dazu setzt du für Beta einfach den Winkel minus Beta ein.

Auf der linken Seite steht dann Kosinus von alpha minus beta. Die Kosinusfunktion ist achsensymmetrisch, daher ist Kosinus von minus Beta gleich Kosinus von Beta. Für die Sinusfunktion gilt dagegen, dass der Sinus von minus Beta gleich minus dem Sinus von Beta ist.

Eingesetzt in die Gleichung erhältst du Kosinus von alpha minus beta ist gleich Kosinus alpha mal Kosinus Beta minus Sinus alpha mal in Klammern minus Sinus beta. Minus mal Minus ergibt plus, und damit hast du den vierten Additionssatz bewiesen: Kosinus von alpha minus beta ist gleich Kosinus alpha mal Kosinus beta plus Sinus alpha mal Sinus beta.

In diesem Video hast du gelernt, wie du mit Hife des Kosinussatzes den dritten Additionssatz der Trigonometrie herleiten kannst. Den vierten Additionssatz der Trigonometrie konntest du dann mit dem dritten Additionssatz auch ganz einfach herleiten. Mit ein paar Übungen zu den Additionssätzen kannst du dein Wissen jetzt schnell festigen. Viel Erfolg!

Informationen zum Video