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Transkript Abstandsberechnung mit der Hesseschen Normalenform – Beispiel

Abstand eines Punktes zu einer Ebene. Und zwar ist die Ebene gegeben in der hesseschen Normalenform. Das ist die hessesche Normalenform. n0 ist ein Normalenvektor, der die Länge 1 hat. Das ist das Besondere an der hesseschen Normalenform. Dann gibt es eine Abstandsformel, die lautet: d=|r¯-p¯)×n0¯| und das war es schon. So, das ist der Vektor, der zu dem Punkt r führt. Es soll der Abstand von Punkt r zur Ebene bestimmt werden. Das ist das p aus der Normalenform, das ist das n0 aus der hesseschen Normalenform und das ist das Kanalprodukt. Jetzt habe ich das als Punkt aufgeschrieben, oft wird es als Stern aufgeschrieben, mir ist es egal. Und dieses d soll jetzt der Abstand sein, also d wie Distanz. Also ist nicht das d aus der Koordinatenform. Genau, in dem Film davor hatten wir d in der Koordinatenform. Es wird unterschiedlich geschrieben, ich könnte hier natürlich einheitlich schreiben, aber dann passt es nicht zu den Büchern. Deshalb nehme ich das so, wie das in den Büchern normalerweise ist. Gut, ja dann müsste da noch was gegeben sein, und zwar habe ich mir folgende Ebene vorgestellt: Die Ebene sieht so aus |E:(x¯-(-1,3,-1)× und da wird es etwas... Ja, weil man ja immer einen normalen Vektor braucht, dessen Betrag 1 ist, dessen Länge 1 ist, das heißt man braucht hier, wenn man solche Aufgaben stellt, 3 Zahlen deren Quadrate zusammen 1 ergeben. Und da habe ich eine Klammer vergessen, so. Und das ist ein - Zeichen, kann man ja auch schön schreiben hier. So, und das soll =0 sein hier, das ist die Ebene in Koordinatenform. Dann haben wir einen Punkt gegeben R(7|-7|1). Ja, wir können ja jetzt diesen Punkt, um den Abstand jetzt rauszufinden von dem Punkt zu der Ebene, können wir R hier einsetzen und p ist ja nichts anderes als das und n0 ist das hier eigentlich. Genau, vielleicht erst getrennt R-p. Rutsch ich mal hier rüber. Und ich habe auch noch eine 3. Tafel. Ja, geht schon, -7, -3. Genau +1 kommt hier wieder zustande wegen -1, -1. Und hier kommt 1+1 hin. Dann ergibt das 8. Ich habe jetzt hier auf das - Zeichen gezeigt, das ist eigentlich dieses - Zeichen hier was man verwendet, weil man ja eher -p rechnet. Ok. Und das ×n0. Genau, dann kann ich vielleicht einfach weiter machen. Das brauchst du jetzt nicht hier auspuzzlementieren, das ist ja langweilig. Es ist -10-5×\sqrt23/3. Ok. Ja, davon muss man noch den Betrag bilden, das heißt einfach dann jeweils da oben + hinschreiben. Also haben wir dann 10+5×\sqrt23/3. Das ist der Abstand des Punktes R zu dieser Ebene. Danke. Herleitung verzichten wir hier auch drauf, einfach nur gezeigt, wie man es macht. Ok.

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